Отсюда следует, что величина n будет наименьшей, если αi = ci.

Мы приходим к выводу: из всех многочленов вида (6.13) многочлен Фурье доставляет величине n наименьшее значение:

i=0

Соотношение (6.14) называется тождеством Бесселя. По самому определению n ≥ 0, поэтому

i=0

Так как (6.15) верно при любом n, то устремив n → ∞, получим

6.2.4. Замкнутость и полнота ортогональной системы

Возникает вопрос можно ли за счёт увеличения n добиться, чтобы величина n в (6.14) стала сколь угодно малой, т.е. стремится ли n к нулю при n → ∞, или, другими словами, сходится ли последовательность Qn(x) к f(x) в среднем. Из (6.14) следует, что сходимость в среднеквадратичном ряда Фурье к f(x) равносильна

наличию равенства

∞

X

i=0

Равенство (6.17) называют уравнением замкнутости ортогональной системы {ϕn(x)} или равенством Парсеваля-Стеклова.

135

Если равенство (6.17) выполняется для каждой функции f(x) из некоторого класса функций, то ортогональную систему {ϕn(x)} называют замкнутой в этом классе функций. Доказано, что ортогональные системы, перечисленные в п. 6.1.3, замкнуты в классе L′2, т.е. всякая кусочно-непрерывная функция f(x) разложима в ряд Фу-

рье c0ϕ0(x) + c1ϕ1(x) + · · · + cnϕn(x) + · · · по этим системам, сходящийся к f(x) в среднем.

Система ортогональных функций (с весом ρ(x)) называется полной в классе L′2, если не существует отличной от нуля функции этого класса, ортогональной (с весом ρ(x)) всем функциям этой системы. При этом функцию, равную нулю на [a, b] всюду, кроме конечного

числа отдельных точек, мы отождествляем с нулём.

Легко доказать, что если система {ϕn(x)} замкнута в классе L′2,

то она полна в этом классе.

Действительно, если допустить противное, т.е., что замкнутая ортогональная система не является полной, то существует кусочно-не- прерывная функция ψ(x), ортогональная (с весом ρ(x)) всем функциям системы {ϕn(x)}. Но тогда для этой функции все коэффициенты Фурье ci по системе {ϕn(x)} равны нулю. В этом случае условие замкнутости (6.17), записанное для ψ(x), принимает вид

b

||ψ(x)||2 = 0, или R ψ2(x)ρ(x)dx = 0. Здесь под интегралом стоит

a

неотрицательная функция. Поэтому при любом x из [a, b] I(x) =

x

= R ψ2(x)ρ(x)dx = 0. Если функция ψ2(x)ρ(x) непрерывна, то мож-

a

но продифференцировать I(x) по x, как по верхнему пределу интегрирования, и получить ψ2(x)ρ(x) = 0. Поскольку ρ(x) > 0, то ψ2(x) = 0, следовательно, ψ(x) = 0. Если функция ψ(x)ρ(x) кусочно-

b

непрерывна, то интеграл R ψ2(x)ρ(x)dx разбивается на конечное чис-

a

ло интервалов, на которых функция ψ2(x)ρ(x) непрерывна. На каждом из них, по только что доказанному, функция ψ(x) = 0. В результате получаем, что ψ(x) равна нулю всюду, кроме конечного числа

отдельных точек (границ частичных интервалов). Но такую функцию мы отождествили с нулём.

Таким образом, не существует функции, отличной от нуля, ортогональной всем функциям замкнутой ортогональной системы, т.е. замкнутая система является полной.

Если две кусочно-непрерывные функции f(x) и g(x) имеют оди-

наковые коэффициенты Фурье по полной ортогональной системе, то такие функции совпадают. Действительно, в этом случае функция ψ(x) = f(x) − g(x) ортогональна всем функциям ортогональной си-

136