3.4. Нули аналитической функции. Теорема единственности
3.4.1. Порядок нуля функции
Точка z0 называется нулём функции f(z), если f(z0) = 0.
Точка z0 называется нулём кратности m аналитической в z0
функции f(z), если имеет место |
|
f(z) = (z − z0)mϕ(z), |
(3.49) |
где ϕ(z) аналитическая в точке z0 функция, причём ϕ(z0) 6= 0.
Теорема 3.32. Если точка z0 есть нуль функции f(z) кратности
m, то ряд Тейлора в окрестности точки z0 для неё имеет вид |
|
f(z) = am(z − z0)m + am+1(z − z0)m+1 + · · · , am 6= 0, |
(3.50) |
и обратно, если имеет место (3.50), то z0 нуль кратности m для f(z).
Действительно, если имеет место (3.49), то |
|
|
|||||||
f(z |
) = f′(z |
) = |
· · · |
= f(m−1)(z |
) = 0, f(m)(z |
) = m! ϕ(z |
) = 0. |
(3.51) |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
6 |
|
|
Поэтому a0 = a1 = · · · = am−1 = 0, |
am 6= 0, и мы приходим к (3.50). |
||||||||
Если имеет место (3.50), то |
|
|
|
|
|
||||
|
f(z) = (z − z0)m{am + am+1(z − z0) + · · ·}. |
(3.52) |
|||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд |
am+n(z − z0)n сходится в той же области, что и ряд (3.50). |
||||||||
n=0
Обозначим am + am+1(z − z0) + · · · = ϕ(z), причём ϕ(z0) = am =6 0. Теперь из (3.52) получаем f(z) = (z − z0)mϕ(z), ϕ(z0) =6 0, и точка
z0 является нулём кратности m.
Замечание. Соотношения (3.51) можно использовать для прак-
тического определения порядка нуля функции. Именно, если
f(z0) = f′(z0) = · · · = f(m−1)(z0) = 0, f(m)(z0) 6= 0, то точка z0
является для f(z) нулём кратности m.
3.4.2. Единственность аналитической функции
Теорема 3.33 (об изолированности нулей). Если точка z0 является нулём аналитической функции f(z) кратности m, то существует окрестность точки z0, в которой функция f(z) не имеет других ну-
лей.
Доказательство. Так как z0 нуль кратности m функции f(z), то
∞
X
f(z) = an(z − z0)n = (z − z0)mϕ(z), am = ϕ(z0) 6= 0. Первый мно-
n=m
житель в нуль обратиться не может, следовательно, функция f(z)
76
могла бы обратиться в нуль только за счёт множителя ϕ(z). Имеем ϕ(z0) = am 6= 0. Функция ϕ(z) аналитична, а потому непрерывна в z0, поэтому lim ϕ(z) = ϕ(z0) = am 6= 0, следовательно, для любого
ε > 0 найдётся δ > 0 такое, что при |z − z0| < δ будет |ϕ(z) − am| < ε.
Примем ε = |
|am| |
. Тогда |
| |
ϕ(z) |
− |
a |
m| |
< |
|am| |
. Если хотя бы в одной |
|
2 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
точке z1 из δ окрестности точки z0 было ϕ(z1) = 0, то мы получили бы |am| < 12 |am|, что при |am| =6 0 невозможно. Теорема доказана.
Теорема 3.34. Если f(z) 1) аналитична в точке z0; 2) существует последовательность {zn} нулей, сходящаяся к z0, то f(z) ≡ 0 в некоторой окрестности точки z0.
Доказательство. В силу непрерывности функции f(z)
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f(zn) = f |
lim zn = f(z0) = 0, следовательно, точка z0 явля- |
||||||
n→∞ |
n→∞ |
f(z). Предположим, что |
|
некоторой |
|||
ется нулём функции |
|
m f(z) 6≡0 |
в |
|
m+1 |
+· · ·, |
|
окрестности точки z0. Тогда f(z) = am(z−z0) |
+am+1(z−z0) |
|
|||||
где m ≥ 1, am 6= 0. Отсюда следует, что |
точка z0 |
является m- |
|||||
кратным нулём функции f(z) (см. теорему 3.32). По теореме 3.33 существует окрестность точки z0, в которой f(z) не имеет других нулей, кроме z0. Но это противоречит второму условию теоремы.
Теорема 3.35 (единственности аналитической функции). Если f1(z) и f2(z) аналитичны в D и их значения совпадают на некоторой последовательности точек {zn}, сходящейся к внутренней точке z0 в области D, то функции f1(z) и f2(z) тождественно равны в области D.
Доказательство. Рассмотрим функцию F (z) = f1(z) − f2(z). По теореме 3.34 эта функция в окрестности точки z0 тождественно равна нулю, т.е. функции f1(z) и f2(z) совпадают. Доказательство совпадения их во всей области D опустим.
Из этой теоремы следует, что ввести аналитические функции ez, cos z, sin z и другие, совпадающие на оси OX или хотя бы на её
части с соответствующими функциями действительной переменной, можно только единственным образом. Все они совпадают между собой независимо от способа их построения. Говорят, что эти функции получены аналитическим продолжением на всю комплексную плоскость с вещественной оси.
77