6. Ряды Фурье

В курсе линейной алгебры и аналитической геометрии мы видели, что решение многих задач значительно упрощается благодаря удачному выбору координатного базиса. Этот же приём используется и в бесконечномерных функциональных пространствах при разложении функций в ряд, когда в качестве базисной системы функций используется наиболее приспособленная для решения данного класса задач. В этом разделе вводится понятие ортогональной системы функций, обобщающее понятие ортогонального базиса n-мерного ев-

клидова пространства на бесконечномерный случай и изучаются ряды по ортогональным системам.

6.1. Ортогональные системы функций

отличных от тождественного нуля, и некоторое множество M функций, определённых также на (a, b). Будем говорить, что последовательность (6.1) образует базис во множестве M, если любая функция f(x) M может быть представлена в виде

n=0

где cn некоторые константы относительно x. Например, изучая ряды Тейлора, мы показали, что функции 1, x, x2, . . . , xn, . . . образу-

ют базис для некоторого подкласса бесконечно дифференцируемых

функций на промежутке (−R, R), причём в этом случае cn = f(n)(0) . n!

Если имеет место (6.2), то говорят, что функция f(x) разложена по базису (6.1). Числа cn можно назвать координатами функции f(x) относительно базиса {ϕn(x)}. Здесь мы имеем почти полную ана-

логию с линейной алгеброй. В этом разделе некоторые понятия линейной алгебры мы распространим на бесконечномерные линейные пространства, каковыми являются многие классы функций, например, очень важный для приложений класс C′ кусочно-непрерывных на [a, b] функций.

Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на [a, b], если она

непрерывна на этом отрезке, за исключением конечного числа точек, где может иметь разрывы первого рода. Класс C′ содержит множество C непрерывных функций.

128

6.1.2. Скалярное произведение функций. Норма функций. Ортогональность

Пусть f1(x) и f2(x) любые две функции из C′.

Определение 1. Скалярным произведением функций f1(x) и f2(x)

из C′ на промежутке [a, b] называется число, обозначаемое (f1, f2) и

определяемое равенством

Очевидно, что скалярное произведение, введённое равенством (6.3), обладает свойствами:

= 0 следует, что f1(x) ≡ 0 на [a, b].

Опираясь на понятие скалярного произведения, в пространстве функций C′ можно ввести и другие геометрические понятия.

Определение 2. Две функции f1(x) и f2(x) из C′ называются ор-

b

R

тогональными на [a, b], если (f1, f2) = f1(x)f2(x)dx = 0.

a

Заметим, что ортогональность функций зависит от рассматриваемого промежутка, т.е. функции, ортогональные на одном промежутке, могут быть неортогональными на другом.

Определение 3. Нормой функции f(x) (обозначается ||f(x)||) на-

s

Определение 4. Система функций ϕ0(x), ϕ1(x), . . . , ϕn(x), . . . называется ортогональной на [a, b], если (ϕi(x), ϕj (x)) = 0, i 6= j, и (ϕi(x), ϕi(x)) > 0, т.е. если они все попарно ортогональны:

b

R

ϕi(x)ϕj (x)dx = 0, i =6 j.

a

Пример 6.1. Доказать, что система функций sin πx, sin 2πx, . . ., sin nπx, . . . ортогональна на (0,1). Найти норму этих функций.

129

Базис будем называть ортогональным, если он состоит из ортого-

нальной системы функций, имеющих норму, отличную от нуля. От произвольного базиса можно перейти к ортогональному, применяя процесс ортогонализации, известный из линейной алгебры.

Базис называется ортонормированным, если он ортогональный,

а нормы всех входящих в него функций равны единице.

При решении некоторых задач вводят скалярное произведение в более общем виде.

Пусть ρ(x) > 0 некоторая фиксированная функция из C′ и f1(x) и f2(x) любые две функции из этого множества. Скалярным произведением с весом ρ(x) функций f1(x) и f2(x) называется число

a

Исходя из (6.4), можно определить понятие ортогональности двух функций и нормы функций с весом ρ(x).

Класс функций C′, в котором введено понятие скалярного произведения по формулам (6.3) или (6.4), будем обозначать через L′2 (L′2 есть некоторый подкласс класса L2 всех интегрируемых на [a, b]

вместе со своим квадратом функций, причём интеграл понимается в смысле Лебега, более общем по сравнению с интегралом Римана).

6.1.3. Основная тригонометрическая система функций

называется основной тригонометрической системой.

130