= f(m)(z). Доказательство предлагается провести самостоятельно.

Для рядов с вещественными членами теорема о почленном дифференцировании имеет существенные отличия от аналогичной теоремы для рядов, члены которых являются аналитическими функциями. Приведём формулировку этой теоремы.

определены на [a, b] и имеют там непрерывные производные. Если на

равномерно на [a, b], то функция S(x) дифференцируема на [a, b] и

∞

X

при этом S′(x) = u′n(x).

n=1

Доказательство опускаем. Предлагается доказать самостоятельно после изучения теоремы 5.8.

3.3. Степенные ряды. Ряды Тейлора

3.3.1. Строение области сходимости степенного ряда

Ряд вида

∞

X

n=0

где an комплексные числа, не зависящие от z; z0 фиксированное комплексное число, называется степенным.

В частности, при z0 = 0 получаем

∞

X

anzn. (3.42)

n=0

От (3.41) к (3.42) можно перейти путём переноса начала координат. Поэтому, не умаляя общности, можно изучать ряды (3.42).

69

Теорема 3.26(Абеля) (о строении области сходимости степенного

∞

X

ряда). 1. Если ряд anzn сходится в точке z0 6= 0, то он сходит-

n=0

ся при любом z, если |z| < |z0| и притом абсолютно; при этом он сходится равномерно в любом круге |z| ≤ ρ < |z0|. 2. Если ряд в точке z0 расходится, то он расходится во всех точках z, для которых

|z| > |z0|.

Доказательство. 1. Из сходимости ряда (3.42) в точке z0 следует,

что lim anz0n = 0, поэтому |anz0n| < M для всех n.

n→∞

n=0

X

|an|ρn, который сходится, так как ρ < |z0|. По признаку Вейер-

n=0

∞

X

штрасса ряд anzn сходится равномерно в круге |z| ≤ ρ.

n=0

2. Если бы ряд в точке z сходился, то он сходился бы и в z0

согласно первой части теоремы, что противоречит условию.

неотрицательное число R такое, что при |z| < R (если R > 0) ряд сходится и притом абсолютно, а при |z| > R (если R 6= ∞) ряд

расходится.

Теорему примем без доказательства.

Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, а круг |z| < R его кругом сходимости. Найти R можно по формулам

70

п. 3.2.3, переносятся и на степенные ряды. В частности, справедливы следующие утверждения.

Теорема 3.28. Сумма степенного ряда является функцией анали-

тической в его круге сходимости. Степенной ряд можно дифференцировать почленно любое число раз. Получающиеся при этом ряды будут иметь тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Теорема 3.29. Степенной ряд можно интегрировать почленно по любой кривой L, расположенной в его круге сходимости.

Пример 3.22. Найти радиус сходимости степенного ряда

∞ xn

X

n=2 n(n − 1)

и его сумму S(x).

Решение. Применяя к данному ряду признак Даламбера, нахо-

дим, что R = lim n(n + 1) = 1. В точках x = ±1 данный ряд схо- n→∞ n(n − 1)

Поэтому область сходимости данного ряда сегмент [−1, 1]. Диф-

Так как S′(0) = 0, то c = 0. Поскольку

R

S(x) = − ln(1 − x)dx = (1 − x) ln(1 − x) + x + c˜ и c˜ = 0, так как S(0) = 0, то S(x) = (1 − x) ln(1 − x) + x.

∞

X

Пример 3.23. Найти радиус сходимости ряда (n + 1)xn и его

n=0

сумму.

Решение. Как и в примере 3.22 легко находим, что R = 1. В точках x = ±1 данный ряд расходится, следовательно, областью сходимости является промежуток (−1, 1). По теореме 3.29 можем за-

71

3.3.2. Ряды Тейлора

Мы установили, что сумма степенного ряда аналитична в круге сходимости. В этом параграфе будем решать обратную задачу. Мы покажем, что всякая аналитическая в круге функция может быть в этом круге представлена в виде суммы степенного ряда.

Теорема 3.30. Если функция f(z) аналитична в круге |z −z0| < R, то в этом круге функция f(z) представима в виде суммы степенного

ряда

причём последний ряд на C′ сходится равномерно, а потому возмож-

72

n = 1, 2, . . .. Теорема доказана.

Заметим, что круг |z−z0| < R, где имеет место разложение (3.43),

можно расширять до тех пор, пока на его границу не попадёт точка, в которой функция f(z) теряет свойство аналитичности.

Теорема 3.31 (теорема единственности ряда Тейлора). Любой сходящийся в круге |z − z0| < R к функции f(z) степенной ряд

n=0

является рядом Тейлора для своей суммы.

Доказательство. Пусть имеет место (3.46). Тогда a0 = f(z0). По

теореме 3.28 возможно почленное дифференцирование ряда (3.46). Выполняя это дифференцирование и полагая после этого z = z0,

1 + ez

точки z0 = 0.

Решение. Функция f(z) теряет свойство аналитичности в точках z, удовлетворяющих условию ez = −1, т.е. z = Ln(−1) = i(π + 2kπ).

Ближайшей к z0 = 0 является точка z1 = iπ, которая удалена от

1

z0 = 0 на расстояние R = π. Поэтому функция f(z) = 1 + ez может быть разложена в ряд Тейлора по степеням z в круге |z| < π. По этой

1

причине функция вещественного переменного f(x) = 1 + ex может быть разложена по степеням x в интервале (−π, π).

73