|
|
|
z2e1/z |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
z2e1/z |
|
|
|||||||||||
|
2z2 + 3z + 1 ; z = ∞ = z→∞ z |
2 |
dz · 2z2 |
+ 3z + 1 = |
||||||||||||||||||||||
|
Res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(z2 − z − 1)e1/z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= lim z2 |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(2z2 + 3z + 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
z→∞ |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ z8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 4.11. Найти Res |
1 |
|
|
|
; z = ∞ . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(z + 2)z6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Решение. Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 + z8 |
|
1 + z8 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
||||||||||
|
|
= |
|
|
|
· |
1 |
|
= |
+ z 1 − |
|
+ |
|
− · · · |
||||||||||||
|
(z + 2)z6 |
|
|
z7 |
1 + 2/z |
z7 |
z |
z2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ z8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
при |z| > 2, то −a−1 = Res |
1 |
; z = ∞ = −4. |
|
|
||||||||||||||||||||||
(z + 2)z6 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
4.2.4. Основная теорема о вычетах
Теорема 4.8. Если функция f(z) аналитична в ограниченной односвязной области D, за исключением конечного числа изолированных особых точек z1, z2, . . . , zn, а γ любой замкнутый контур, лежащий в D и содержащий внутри себя точки z1, z2, . . . , zn, то
I |
f(z)dz = 2πi |
n |
Res[f(z); z = zm]. |
(4.12) |
|
|
X |
|
|
γm=1
Доказательство. Проведём окружности γm (m = 1, 2, . . . , n) достаточно малого радиуса с центром в точках zm, ориентируя их про-
тив часовой стрелки. Тогда по интегральной теореме Коши для мно-
|
γ |
∞ |
|
|
Xγm |
|
|
госвязной области (см. теорему 2.7) |
I |
f(z)dz = m=1 I |
f(z)dz. От- |
сюда и следует равенство (4.12). |
|
|
|
Следствие. Пусть функция f(z) аналитична во всей расширенной
комплексной плоскости, за исключением конечного числа особых точек. Тогда сумма всех вычетов функции f(z), включая вычет в точке ∞, равна нулю, т.е.
n |
|
|
|
X |
|
|
(4.13) |
Res[f(z); z = zm] + Res[f(z); z = ∞] = 0. |
|
||
m=1 |
|
|
|
Действительно, по определению Res[f(z); z = ∞] = − |
1 |
Iγ |
f(z)dz, |
|
|||
2πi |
|||
где γ любой контур, во внешности которого нет особых точек
100