7. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

В подразделе 6.3 мы изучали представление функции f(x) тригонометрическим рядом Фурье, при этом f(x) была либо периодической, либо заданной на конечном промежутке оси OX и перио-

дически продолженной на всю числовую ось. В данном разделе мы будем рассматривать непериодические функции, заданные на всей числовой оси.

7.1. Понятие интеграла Фурье. Комплексная форма записи интеграла Фурье. Достаточные условия представимости функции интегралом Фурье

Поскольку в (7.1) величина x является параметром, а в (7.2) пере-

менной интегрирования, то переменную интегрирования обозначилиωn = πl , то выражение (7.3) можно

152

−∞

сходится. Для такой функции соотношение (7.4) справедливо при любом l. Так как l может быть сколько угодно большим, то в (7.4) можно перейти к пределу при l → ∞. Мы приходим к сумме вида

−∞

ложить, что пределом суммы (7.4) при l → ∞ является интеграл

−∞ −∞

Таким образом, если функция f(x) абсолютно интегрируема на всей

числовой оси, то ей можно поставить в соответствие интеграл (7.5):

Интеграл (7.6) называют интегралом Фурье в комплексной форме

функции f(x). Предыдущие рассуждения позволили нам получить

форму интеграла (7.6), который можно поставить в соответствие любой абсолютно интегрируемой на всей числовой оси функции. Вопрос о том, когда в (7.6) имеет место равенство, остаётся открытым.

Теорема 7.1. Если функция f(x): 1) абсолютно интегрируема на (−∞, +∞); 2) на каждом конечном промежутке [−l, l] кусочно-

монотонна и ограничена или кусочно-гладкая, то для любой точки x справедливо равенство

153

7.2. Действительные формы записи интеграла Фурье. Интеграл Фурье для чётных и нечётных функций

Применяя формулу Эйлера, можем записать

154

действительная форма записи интеграла Фурье. В подобном же виде мы записывали и ряд Фурье (см. п. 6.3.3), только интегрирование по ω от 0 до ∞ было заменено суммированием по n от 0 до ∞. Эту

аналогию можно продолжить.

Коэффициенты a(ω) и b(ω) в (7.9) играют роль коэффициентов an и

00

Мы вводили понятие интеграла Фурье для функций, заданных на всей числовой оси. Если же функция задана только на (0, +∞), то

её можно продолжить на всю числовую ось либо чётным образом, либо нечётным и представить в виде (7.10) либо в виде (7.11).

155

Функция f(x) представлена как сумма гармонических колебаний амплитудой A(ω), угловой частотой ω и начальной фазой ϕ(ω), причём частоты меняются непрерывно от 0 до ∞, в случае же рядов

Фурье, как мы видели, функция также была представлена в виде суммы гармонических колебаний, но частоты которых менялись дискретно. Интеграл Фурье применяется для спектрального анализа функций непериодических, заданных на всей числовой оси. При

ция ρ(ω) = |S(ω)| называется амплитудным спектром, а функция Φ(ω) = −arg S(ω) фазовым спектром функции f(x). Зная спектральную плотность S(ω), функцию f(x) можно восстановить по

щий справа интеграл называют нормализованной энергией E, которая соответствует энергии, рассеиваемой током f(x), протекающим через сопротивление в один ом. Функцию |S(ω)|2 называют спектром плотности энергии. Функция |S(ω)|2 показывает распределение энер-

гии по частотным составляющим.

вить интегралом Фурье в вещественной форме.

Решение. Запишем искомый интеграл в виде (7.11). Так как функция f(x) нечётна, то a(ω) = 0,

156