5.1.3. Интегрируемость. Замена порядка интегрирования

Теорема 5.4(об интегрировании по параметру). Если функция f(x, y) непрерывна в прямоугольнике П:{a ≤ x ≤ y, c ≤ y ≤ d},

b

R

то функция I(y) = f(x, y)dx интегрируема на [c, d] и при этом

Доказательство. По теореме 5.1 функция I(y) непрерывна на [c, d], а потому интегрируема. Справедливость формулы (5.10) следует из того, что в случае непрерывной функции f(x, y) каждый из

повторных интегралов в (5.10) существует и равен двойному инте-

RR

гралу f(x, y)dxdy. Это доказано в теории двойных интегралов.

Π

Формула (5.10) иногда позволяет упростить вычисление некоторых интегралов.

1

Пример 5.5. Вычислить I(y) = Z yb − ya dy, b > a > 0, применяя ln y

0

b

˜ R x

интегрирование по параметру интеграла I(y) = y dx.

5.2. Несобственные интегралы 1-го рода, зависящие от параметра

Пусть функция f(x, y) определена в неограниченной полуполосе П:{a ≤ x ≤ +∞, c ≤ y ≤ d} и пусть при каждом значении y на [c, d]

∞

R

сходится интеграл f(x, y)dx. Тогда на [c, d] определена функция

a

111

называемая несобственным интегралом первого рода, зависящим от

параметра. Изучение интегралов (5.11) можно свести к изучению функциональных рядов. Пусть дана неограниченная последовательность a = x0 < x1 < x2 < · · · < xm < · · · точек луча [a, +∞)

( lim xm = +∞). Определим функции Im(y), m = 1, 2 . . . равен-

m→∞

ствами

Пример 5.6. Дан интеграл R ye−yxdx = I(y). Найти область опре-

0

ходится. Следовательно, областью определения функции I(y) является луч [0, +∞). Исходя из определения, докажем равномерную сходимость интеграла на отрезке [c, d], c > 0. Пусть ε > 0 произвольно. Должно существовать число l = l(ε) такое, что при любом L > l(ε) и

112

неравенство будет заведомо выполняться для всех y из [c, d], если e−Lc < ε, т.е. если L > − lncε . Отсюда следует, что можно положить l(ε) = − lncε .

Заметим, что на отрезке [0, d] интеграл сходится неравномерно, поскольку при y → 0 функция e−Ly → 1, поэтому неравенство

< ε выполняться сразу для всех y из [0, d] не может.

Теорема 5.5 (признак Вейерштрасса равномерной сходимости). Если |f(x, y)| < g(x) в П:{a ≤ x ≤ +∞, c ≤ y ≤ d}, причём интеграл

знака сравнения сходимости несобственных интегралов и сходимости

a

R

и|f(x, y)|dx сходятся равномерно на [c, d].

a

∞

Пример 5.7. Доказать, что интеграл I(y) = R e−yx2 dx сходится

0

равномерно на [y0, +∞), где y0 > 0.

Решение. Так как 0 < e−yx2 ≤ e−y0x2 при всех y ≥ y0, а инте-

∞

грал R e−y0x2 dx сходится при y0 > 0, то по признаку Вейерштрасса

0

данный интеграл на луче [y0, +∞) сходится равномерно. Можно доказать, что на (0, +∞) этот интеграл сходится неравномерно.

113

Сформулируем несколько теорем, характеризующих свойства функций I(y), заданных интегралом, зависящим от параметра.

равномерно относительно y на [c, d], то функция I(y) непрерывна на

[c, d].

Доказательство теоремы предлагается провести самостоятельно

по аналогии с доказательством теоремы 3.21, заменяя остаток ряда

∞

R

rn интегралом f(x, y)dy.

L

Следствие. Если выполнены все условия теоремы 5.6, то

∞

где y0 любая точка из [c, d]. Если справедлива формула (5.12), то

говорят, что возможен предельный переход под знаком интеграла.

Теорема 5.7. Если: 1) функция f(x, y) непрерывна в полуполосе

Доказательство данной теоремы аналогично доказательству теоремы 3.22. Предлагается доказать теорему самостоятельно.

114

Теорема 5.8. Если: 1) функции f(x, y) и fy′ (x, y) непрерывны в по-

Доказательство. Обозначим I (y) = R fy′ (x, y)dx. Требуется до-

a

казать, что I (y) = I′(y). По теореме 5.6 функция I (y) непрерывна на [c, d], а по теореме 5.7 можно проинтегрировать данный интеграл по параметру y под знаком интеграла от c до y, где y

y∞

ZZ

ca

Дифференцируя (5.13) по y, как по верхнему пределу, получаем

115