Все функции системы (6.5) периодические с общим периодом 2l. Легко получить, что

Следовательно, основная тригонометрическая система функций ортогональна на (−l, l).

Широко применяются и другие ортогональные системы: полиномы Лежандра, Чебышева, Эрмита, Лагерра, ортогональные системы Бесселевых функций, системы функций Уолша, Радемахера и др., с которыми можно познакомиться в [5].

6.2. Ряды Фурье по произвольной системе ортогональных функций

6.2.1. Понятие ряда Фурье

Пусть дана ортогональная с весом ρ(x) > 0 система функций

являющаяся базисом некоторого подмножества M L′2. Возьмём любую функцию f(x) из M. По определению базиса существует последовательность констант c0, c1, c2, . . . , cn, . . . таких, что

n=0

Предположим дополнительно, что ряд (6.7) сходится на (a, b) равномерно к f(x). Умножим обе части в (6.7) скалярно на ϕm(x), это равносильно умножению обеих частей на ρ(x)ϕm(x) и почленному

131

интегрированию в пределах от a до b, что законно в силу предпола-

гаемой равномерной сходимости ряда. Получаем

Поэтому в (6.8) неравным нулю будет лишь одно слагаемое при n = m. Следовательно, (f, ϕm) = cm||ϕm||2, т.е.

Вспоминая определение скалярного произведения и нормы, можем

a

Ряд (6.7), коэффициенты которого определяются по формулам (6.10), называется рядом Фурье функции f(x) по ортогональной системе (6.6). Числа cm, m = 0, 1, 2, . . . называются коэффициентами Фурье функции f(x).

Любой интегрируемой функции f(x) формально можно сопоста-

n=0

найдя его коэффициенты по формулам (6.9). Но вопрос о сходимости ряда остаётся открытым. Ряд (6.11) может расходиться или сходиться, но не к функции f(x). Ведь при отыскании коэффициентов cn мы заранее предположили, что ряд (6.6) сходится к f(x) и этот

ряд можно интегрировать почленно, что не всегда справедливо. Возникающая при этом задача может быть сформулирована двумя способами: 1) дана некоторая ортогональная система функций, описать множество тех функций, для которых она может быть базисом, т.е. тех, которые могут быть разложены в ряд Фурье по данной системе; 2) для данного класса функций построить ортогональный базис. Мы в основном будем заниматься задачей в первой формулировке. В математической физике часто встречаются задачи во второй формулировке, когда для заданного класса функций специальным образом строится ортогональная система.

132

6.2.2. Понятие сходимости в среднем

В приближённых вычислениях часто приходится заменять функцию f(x) в каком-то смысле близкой к ней функцией g(x). Оцен-

ку точности приближения можно производить по-разному. В основу всех способов оценок берут разность r(x) = f(x) − g(x). Если в качестве меры точности приближения берётся число δ = sup |f(x) − −g(x)|, a < x < b, то при малом значении δ говорят, что функция g(x) равномерно на (a, b) близка к функции f(x).

∞

X

Если функциональный ряд un(x) равномерно сходится к S(x)

n=1

на [a, b], то сумма S(x) равномерно близка его частичной сумме Sn(x) при достаточно больших n. При равномерном приближении функции f(x) и g(x) мало отличаются во всех точках промежутка (a, b).

Во многих задачах требуется сравнивать не сами функции, а интегралы от них. В этих случаях в качестве меры точности прибли-

a

g(x) считается близкой функции f(x), если величина δ′ достаточно

мала. Модули часто усложняют вычисления, так как они приводят к недифференцируемым функциям. Чтобы избежать этого, рассматривают величину

v

ub

t

называемую средним квадратичным отклонением функции f(x) от функции g(x) на промежутке (a, b).

Если изучаются функциональные пространства, в которых введено понятие скалярного произведения с весом ρ(x), то вместо ве-

Пусть дана последовательность функций {Sn(x)}. Говорят, что эта последовательность сходится на (a, b) в среднеквадратичном с весом ρ(x) (или просто в среднем), если для любого ε > 0 найдётся

133

число N = N(ε) такое, что при всех n > N выполняется неравенство

X

Ряд un(x) называется сходящимся в среднеквадратичном с

n=1

весом ρ(x) к функции S(x), если последовательность его частичных сумм {Sn(x)} сходится в среднеквадратичном с весом ρ(x) к функции

S(x).

Заметим, что даже при очень малой величине δ′ или δ′′ функции f(x) и g(x) в отдельных точках промежутка (a, b) могут сильно

отличаться, следовательно, из сходимости в среднеквадратичном не следует сходимость в обычном смысле.

6.2.3. Экстремальное свойство многочленов Фурье

Пусть дана ортогональная система функций (6.6). Выражение

называется многочленом порядка n по ортогональной системе

(6.6). Если в (6.13) вместо констант αi возьмём коэффициенты Фурье функции f(x) по системе {ϕi(x)}, то получим многочлен

Qn(x) = Sn(x) = c0ϕ0(x) + c1ϕ1(x) + · · · + cnϕn(x), совпадающий с n-й частичной суммой ряда Фурье для f(x), называемый много-

членом Фурье.

Поставим задачу: из всех многочленов вида (6.13) найти те, которые осуществляют наилучшее среднеквадратичное приближение заданной функции f(x). Для этого нужно подобрать константы

как (f, ϕi) = ci||ϕi||2, где ci коэффициенты Фурье для f(x), а

134