2. Интегральное представление аналитических функций

2.1. Интеграл от функции комплексного переменного

Пусть в плоскости Cz задана гладкая или кусочно-гладкая кривая AB конечной длины. Если кривая замкнута, то A = B. Установим положительное направление на кривой, считая точку A первой, если кривая AB не замкнута. Если же кривая замкнута, то поло-

жительным направлением обхода будем считать движение против часовой стрелки.

Предположим, что на AB определна непрерывная ограниченная

функция f(z). Точками A = z0, z1, z2, . . . , B = zn кривую AB разобьём на n элементарных дуг zm−1zm. Нумерация точек производит-

ся в направлении от точки A к B. Обозначим zm = zm − zm−1, (m = 1, 2, . . . , n). На каждой дуге zm−1zm выберем по одной точке tm и образуем сумму

m=1

называемую интегральной суммой Римана для f(z) и кривой AB.

Предел этой суммы, если он не зависит ни от способа разбиения кривой, ни от способа выбора точек tm, при условии, что λ → 0, где λ = max| zm|, называется интегралом от функции f(z) по кривой AB и обозначается Z

f(z)dz. (2.2)

AB

При этом функция f(z) называется интегрируемой по кривой AB. Для интегрируемых по кривой AB функций непосредственно

из определения интеграла следуют нижеперечисленные свойства:

RR

2)αf(z)dz = α f(z)dz, α = const;

RR

3) f(z)dz = − f(z)dz;

AB BA

RR

4) ϕ(z)dz ≤ |ϕ(z)|ds, ds дифференциал длины дуги;

AB AB

32

6)если во всех точках дуги AB выполняется |f(z)| < M (M =

AB

показать, что для интеграла (2.2) справедлива формула:

AB

линейных интегралов второго рода от действительных функций.

R

Интеграл f(z)dz существует тогда и только тогда, когда суще-

AB

ствуют в соотношении (2.3) все интегралы справа, для чего достаточно непрерывности функций u(x, y) и v(x, y) и кусочной гладкости кривой AB (это доказано в теории криволинейных интегралов).

z(t) = x(t) + iy(t) : [t1, t2] → Cz. Функции x(t) и y(t) предполага-

ются дифференцируемыми. Из формулы (2.3) легко получить, что

C

|z − a| = R, пробегаемая против часовой стрелки.

33