Теорема 1.5. Число w0 = u0 + iv0 является пределом функции f(z) = u(x, y) + iv(x, y) при z = x + iy → z0 = x0 + iy0 тогда и только
тогда, когда lim u(x, y) = u0, |
lim v(x, y) = v0. |
x→x0,y→y0 |
x→x0,y→y0 |
Обозначим z = x + iy = reiϕ, z0 = r0eiϕ0 , w = u(x, y) + iv(x, y) =
= ρ(r, ϕ)eiθ(r,ϕ), |
w0 = u0 + iv0 = ρ0eiθ0 . |
||
Теорема 1.6. Если |
lim f(z) = w0, то при соответствующем выбо- |
||
|
|
z→z0 |
|
ре аргументов |
lim |
ρ(r, ϕ) = ρ0, |
lim θ(r, ϕ) = θ0 |
r→r0, ϕ→ϕ0 |
r→r0, ϕ→ϕ0 |
||
Обратное утверждение верно без всяких ограничений.
Теоремы о пределах функций, выражаемые равенствами, известные для действительного переменного, переносятся и на комплексные переменные.
Определение 3. Пусть функция f : D Cz → Cw определена в предельной точке z0 множества D. Функция f называется
непрерывной в точке z0, если lim f(z) = f(z0).
z→z0
Теорема 1.7. Если f(z) = u(x, y) + iv(x, y) непрерывна в точке z0 = x0 +iy0, то функции u(x, y) и v(x, y) непрерывны в точке (x0, y0)
и обратно.
Теорема является следствием теоремы 1.5.
Теоремы о непрерывных функциях действительного переменного имеют место и для функций комплексного переменного. Напомним некоторые из них.
¯ |
|
|
Теорема 1.8. Функция w = f(z) : D Cz → Cw, непрерывная на |
||
замкнутом и ограниченном множестве |
¯ |
¯ |
D Cw, ограничена на D, т.е. |
||
¯
существует константа M такая, что при любых z D справедливо
|f(z)| < M.
¯
Теорема 1.9. Модуль функции w = f(z) : D → Cw, непрерывной
¯
на замкнутом и ограниченном множестве D, имеет наибольшее и
¯
наименьшее значения в D.
1.4. Дифференцируемые функции комплексного переменного
1.4.1. Производная
Пусть дана непрерывная в точке z0 функция w = f(z). Дадим числу z0 приращение z = z − z0 и рассмотрим
lim |
f(z) − f(z0) |
= |
lim |
f(z0 + z) − f(z0) |
= |
lim |
f |
. (1.17) |
z→z0 |
z − z0 |
z→0 |
z |
|
z→0 |
z |
|
|
23
Если предел (1.17) существует и конечен, то этот предел называется производной функции f в точке z0 и обозначается
df |
= f′(z0) = lim |
f(z) − f(z0) |
= |
lim |
f |
. |
(1.18) |
dz |
|
|
|||||
z→z0 |
z − z0 |
z→0 |
z |
|
|||
Функция f называется дифференцируемой в точке z0, если её при-
ращение в этой точке можно представить в виде |
|
f = A z + α( z), |
(1.19) |
где функция α( z) бесконечно малая относительно z порядка
выше первого, т.е. lim α( z) = 0, а A = const.
z→0 z
Докажем, что для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке z0, необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная
производная f′(z0).
Пусть f дифференцируема в z0, тогда имеет место равенство (1.19). Деля в нём обе части на z и переходя к пределу при z → 0,
получим, что f′(z0) существует и при этом f′(z0) = A, т.е. |
|
f = f′(z0) z + α( z). |
(1.20) |
Пусть существует конечная производная f′(z0). Из равенства (1.12) следует, что для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
при 0 < |z| < δ |
выполняется неравенство |
|
|
− f′(z0) |
< ε, |
|||||||||||
z |
||||||||||||||||
|
|
z |
− |
f′(z |
) = ϕ( |
|
z), где |
z |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
lim ϕ( |
|
z) |
= |
0, т.е. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|||
f = f′(z0) z + ϕ( z) z, и мы пришли к равенству вида (1.13), следовательно, функция f дифференцируема в точке z0.
Величину f′(z0) z обозначают df = f′(z0) dz и называют дифференциалом функции f в точке z0.
1.4.2. Условия дифференцируемости функции комплексного переменного
Теорема 1.10. Для того, чтобы функция f(z) = u(x, y) + iv(x, y) была дифференцируемой в точке z0 = x0 + iy0, необходимо и доста-
точно, чтобы:
1) функции u(x, y) и v(x, y) |
были дифференцируемы в точке |
|||||||||
(x0, y0); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) в точке (x0, y0) выполнялись условия Коши-Римана: |
|
|||||||||
∂u |
|
∂v |
∂u |
|
∂v |
(1.21) |
||||
|
|
= |
|
, |
|
|
= − |
|
. |
|
|
∂x |
∂y |
|
∂y |
∂x |
|||||
Доказательство. Необходимость. Пусть функция f(z) дифференцируема в точке z0, т.е. f = f′(z0) z + α( z). Положим
24
f = u + i v, f′(z0) = A + Bi, z = x + i y, α( z) = = β1( x, y) + iβ2( x, y). Получим
u + i v = (A + Bi)( x + i y) + β1( x, y) + iβ2( x, y).
Отделяя вещественную и мнимую части, находим |
(1.22) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
v = B x −+ A y + β2 |
( x, y). |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u = A x B y + β1 |
( x, y), |
|
|||||||||
|
Из очевидных неравенств |
|
|
|β2( x, y)| ≤ |α( z)| |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|β1( x, y)| ≤ |α( z)|, |
|
||||||||||||
следует, что |
величины |
β1 |
и β2 |
бесконечно малые |
при |
|||||||||||||
| | |
p |
|
|
|
|
|
|
|
→ 0 |
порядка выше первого относительно |
||||||||
|z| = |
|
( x)2 + ( y)2 |
||||||||||||||||
z = |
( x)2 + ( |
|
y)2. Теперь дифференцируемость функций u и |
|||||||||||||||
|
точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
v в |
|
p(x0, y0) следует из соотношений (1.22). Из них же следуют |
||||||||||||||||
|
|
|
|
∂u |
|
∂v |
|
|
∂u |
|
∂v |
|
|
|
||||
доказана.равенства |
|
= |
|
, |
|
|
= − |
|
. Необходимость условий теоремы |
|||||||||
∂x |
∂y |
∂y |
∂x |
|||||||||||||||
Достаточность. Пусть выполнены условия пп. 1 и 2 теоремы. Тогда справедливы равенства (1.22), где β1 и β2 бесконечно ма-
|
|
|
|
|
p |
|
|
лые порядка выше первого относительно |z| = |
( x)2 + ( y)2. |
||||||
Используя (1.22), находим |
f = |
u + i |
|
v = A x − B y + i(B x+ |
|||
+A y) + β1( x, y) + iβ2 |
( x, y), или |
|
(1.23) |
||||
f = |
(A + Bi) z + α( z), |
||||||
где α( z) бесконечно малая величина порядка выше первого относительно z. Мы пришли к условию вида (1.13), необходимому и достаточному для дифференцируемости функции f(z). Теорема до-
казана.
Замечание. Как видим, условие дифференцируемости функции f(z) = u(x, y) + iv(x, y) не совпадает с условием дифференцируе-
мости функции ϕ(x, y) = |
u(x, y) |
. Дифференцируемые функции |
v(x, y) |
f(z) определяют некоторое подмножество среди множества дифференцируемых функций ϕ(x, y).
Из равенств (1.23) и (1.14) следует, что f′(z0) = A + Bi, поэтому
f′(z0) = |
∂u |
(x0, y0) + i |
∂v |
(x0, y0). Если z = x + iy любая точка, в |
|
∂x |
∂x |
||||
|
|
|
которой функция f(z) дифференцируема, то
f′(z) = u′x + ivx′ = vy′ + ivx′ = u′x − iu′y = vy′ − iu′y.
Пример 1.12. Доказать, что функция w = ez дифференцируема на всей комплексной плоскости и что (ez)′ = ez.
Решение. По определению функции ez находим ez = ex+iy = = ex(cos y + i sin y), т.е. u = ex cos y, v = ex sin y. Функции u и v
25
дифференцируемы на всей плоскости. Остаётся проверить выпол-
нимость условий Коши-Римана: |
∂u |
= ex cos y, |
∂v |
= ex cos y, |
||||||||
|
|
|||||||||||
|
∂u |
|
∂v |
|
|
|
∂x |
∂y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= −ex sin y, |
|
|
|
= ex sin y. Условия Коши-Римана выполнены. |
||||||
|
∂y |
|
∂x |
|||||||||
Находим (ez)′ = |
∂u |
+i |
∂v |
= ex cos y+iex sin y = ex(cos y+i sin y) = ez. |
||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
∂x |
∂x |
|
|
|
|
||||
1.4.3. Эквивалентность условий Коши-Римана
∂f
и условия ∂z¯ = 0
Пусть дана функция f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Переменные x и y
легко выразить через z = x + iy и z¯ = x |
− |
iy: x = |
z + z¯ |
, y = |
z − z¯ |
. |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
2i |
|
|
|
|
|
2i |
2 |
|
2i |
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Поэтому f(z) = u |
z + z¯ |
, |
z − z¯ |
|
+ iv |
z + z¯ |
, |
z − z¯ |
, т.е. функцию |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f(z) формально можно рассматривать как функцию двух перемен-
ных z и z¯. Найдём |
∂f |
. По правилу дифференцирования сложной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
функции двух переменных получаем |
+ ∂y · |
∂z¯ |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂z¯ = |
|
∂x |
|
· ∂z¯ + |
∂y · |
|
∂z¯ + i ∂x · |
∂z¯ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
∂f |
|
|
∂u |
|
|
∂x |
|
∂u |
|
|
∂y |
|
|
|
∂v |
|
∂x |
|
|
|
∂v |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= 2 · |
∂x |
− 2i ∂y |
+ 2 |
∂x |
− i ∂y = |
2 |
∂x |
− ∂y |
+ 2 |
∂y |
+ ∂x . |
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
∂u |
|
|
|
1 ∂u |
|
i |
|
|
∂v |
|
1 ∂v |
|
|
1 |
|
|
∂u |
|
|
∂v |
|
i |
∂u |
|
∂v |
|||||||||||||
Отсюда следует справедливость теоремы 1.11. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Теорема 1.11. Условия Коши-Римана и |
∂f |
= 0 эквивалентны. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z¯ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Если |
|
∂f |
= 0, то |
|
∂f |
= |
d f |
, а поэтому производные для диффе- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂z¯ |
|
|
|
∂z |
|
d z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ренцируемых функций получаются формальным дифференцированием по переменной z. По этой причине все правила дифференци-
рования, известные из действительного анализа, переносятся и на комплексный случай.
Пример 1.13. Функция f(z) = zn дифференцируема, поскольку
вещественная и мнимая части её являются многочленами относительно переменных x и y, а потому дифференцируемы, а так как
∂f∂z¯ = 0, то условия Коши-Римана выполнены. Находим dd fz = ∂f∂z = = nzn−1.
26