f(z) = z2 + Im z не дифференцируемы ни в одной точке, так как для них ∂f∂z¯ =6 0, а потому не выполнены условия Коши-Римана.

1.5. Понятие аналитической функции

1.5.1. Простейшие свойства аналитических функций

Напомним, что областью D называется любое открытое множе-

¯

ство. Через D обозначают область D, дополненную её границей. Функция f(z) называется аналитической в точке z0, если она

дифференцируема в этой точке и во всех точках некоторой окрестности точки z0. Функция, аналитическая во всех точках некоторой области D, называется аналитической в области D.

Позднее докажем, что мнимая и вещественная части аналитической в области D функции имеют непрерывные частные производ-

ные всех порядков (см. теорему 2.9 и её следствие).

Пример 1.15. Функции ez, cos z, sin z, zn, ch z, sh z аналитичны на всей плоскости, так как они дифференцируемы при любом z.

Пример 1.16. Функция f(z) = |z|2 = zz¯ не является аналитичес-

кой ни в какой точке, так как ∂f∂z¯ = z, а поэтому не существует ни-

какой точки, в окрестности которой выполнялись бы условия КошиРимана ∂f∂z¯ = 0, т.е. функция f(z) = zz¯ дифференцируема только в точке z = 0, но не аналитична ни в одной точке.

Отметим без доказательства некоторые из свойств аналитических функций.

1. Если f1(z) и f2(z) аналитичны в D, то их сумма и произведение

также аналитичны в D, а частное f1(z) аналитично всюду в области f2(z)

D, где f2(z) =6 0.

2.Если w = f(z) аналитическая в области D, а в области её значений определена аналитическая функция t = ϕ(w), то функция t = ϕ[f(z)] является аналитической в области D.

3.Если в окрестности точки z0 = x0 + iy0 определена аналитическая функция f(z) такая, что f′(z0) 6= 0, то в окрестности точки

27

w0 = f(z0) определена единственная обратная функция z = ϕ(w),

1

f′(z0) .

Из условия f′(z0) =6 0, f : D Cz → Cw не следует единственность обратной функции. Например, (ez)′ = ez на всей плоскости, но обратная функция для ez не единственна. Свойство 3 носит

локальный характер.

4.Если f(z) аналитична в области D и не постоянна в D, то её модуль не достигает в D наименьшего значения. Если f(z) в D не обращается в нуль, то модуль f(z) не достигает в D наибольшего значения. Если при этом f(z) непрерывна на границе области D, то |f(z)| достигает наибольшего и наименьшего значения на границе

(принцип максимума модуля).

5.Если w = f(z) : Cz → Cw аналитическая и ограниченная на всей комплексной плоскости Cz функция, то f(z) = const (теорема

Лиувилля).

1.5.2. Восстановление аналитической функции по её мнимой или действительной части

Пусть дана произвольная функция u(x, y) двух действительных

переменных, имеющая непрерывные частные производные всех порядков. Выясним, какие из функций такого класса могут быть мнимой или вещественной частью аналитической функции.

Если функция f(z) = u(x, y) + iv(x, y) аналитична в области D, то для неё выполнены условия Коши-Римана: ∂u∂x = ∂y∂v , ∂u∂y = − ∂x∂v . Дифференцируя первое из этих равенств по x, а второе по y, получа-

∂2v ∂2v

Аналогично показывается, что ∂x2 + ∂y2 = 0.

Уравнение вида (1.24) называется уравнением Лапласа, а непрерывная в области D функция u(x, y), имеющая непрерывные част-

ные производные второго порядка, являющаяся его решением, называется гармонической в области D функцией.

28

Таким образом, вещественная и мнимая части аналитической функции принадлежат к классу гармонических функций.

Две гармонические функции u(x, y) и v(x, y), связанные условиями Коши-Римана, называются сопряжёнными.

Мы показали, что мнимая и вещественная части аналитической функции являются гармоническими сопряжёнными.

Из теоремы 1.10 следует, что верно и обратное, т.е., что если функции u(x, y) и v(x, y) гармонические сопряжённые в D, то функция f(z) = u(x, y) + iv(x, y) аналитична в D.

Пусть задана в односвязной области D гармоническая функция u(x, y), тогда, используя условия Коши-Римана, можно однозначно

восстановить полный дифференциал её сопряжённой гармонической функции v(x, y): dv = − ∂u∂y dx + ∂u∂x dy, а затем с точностью до кон-

станты и саму функцию.

Как известно, [6, с.59] функцию v можно восстановить по фор-

муле

где интеграл берётся по любой кусочно-гладкой кривой от точки

A(x0, y0) до точки B(x, y), лежащей в D. В качестве точки A(x0, y0) можно взять любую, в которой функция u(x, y) и её частные произ-

водные u′x и u′y непрерывны. Если в качестве пути интегрирования

выбрать ломаную со звеньями, параллельными осям координат, то формулу (1.25) можно привести к одному из следующих видов (в тех случаях, когда эти звенья принадлежат D):

xy

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) с точностью до константы.

Заметим, что если область D многосвязна, то интеграл (1.19) может определять многозначную функцию v(x, y).

29

1.5.3. Геометрический смысл модуля и аргумента производной

Пусть задана аналитическая в точке z0 функция f(z), причём

z = z − z0. Получим f(z) = f′(z0)z + f(z0) − z0f′(z0) + α( z). Обозначим f′(z0) = a, f(z0) − z0f′(z0) = b. Тогда

30

Таким образом, если функция f(z) дифференцируема в точке z0 и f′(z0) 6= 0, то она отличается от линейной функции w = az +b на бесконечно малую функцию α( z) порядка выше первого относительноz. Следовательно, в достаточно малой окрестности точки z0 отоб-

ражение, осуществляемое дифференцируемой функцией с неравной нулю производной с точностью до бесконечно малых порядков выше первого относительно z, обладает свойствами линейного отобра-

жения (см. п.1.3.2). Это линейное отображение зависит только от выбора точки z0.

Отсюда следует, что отображение f(z) достаточно малой окрестности точки z0 сводится к повороту на угол ϕ, равный arg f′(z0), и к преобразованию подобия с коэффициентом подобия k = |f′(z0)|.

В этом и заключается геометрический смысл модуля и аргумента производной.

Если в плоскости (z) возьмём два направления γ1 и γ2, исходящие из точки z0 под углом ψ, то при отображении f(z) они перейдут в направления 1 и 2, исходящие из w0 = f(z0) также под углом ψ. Это свойство отображения называется свойством сохранения углов. Из (1.28) также следует, что любая дуга, проходящая через z0, при отображении изменится по длине в |f′(z0)| раз. Это свойство называется свойством сохранения коэффициента растяжения.

Подчеркнём, что в другой точке отображение f(z) будет связано с другим линейным отображением, т.е. угол поворота ϕ и коэффициент растяжения k зависят от выбора точки z0. Отображение, об-

ладающее свойством сохранения углов и свойством сохранения коэффициента растяжения, называется конформным.

Мы показали, что отображение, осуществляемое аналитической функцией, конформно.

31