Из доказанной теоремы следует правило возведения комплексно-
го числа в целую положительную степень:
zn = (x + iy)n = [r(cos ϕ + i sin ϕ)]n = rn(cos nϕ + i sin nϕ). Полученные выражения для z1·z2, z1/z2, zn называют формулами
Муавра.
Замечание. Разумеется, для возведения комплексного числа в це-
лую положительную степень не обязательно записывать его в тригонометрической форме. Можно пользоваться правилом умножения
комплексных чисел, например, |
(x + iy) |
2 |
= x |
2 |
− y |
2 |
+ 2ixy, |
(x + iy) |
3 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= (x |
3 |
|
2 |
|
|
|
2 |
y |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
i(3x |
|
|
y |
) и т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
− 3xy ) +4m |
|
|
|
−4m+1 |
|
= i, |
i |
4m+2 |
= −1, i |
4m+3 |
= −i, m ≥ 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
Очевидно, i |
|
= 1, i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
любое целое число. |
|
|
i82 + 3i37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пример 1.3. Число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
записать в алгебраической форме. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i44 |
|
|
|
2i51 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Так как i |
82 |
|
−4 |
· |
20+2 |
= |
|
1, i |
37 |
|
|
4 |
· |
9+1 |
= i, i |
44 |
4 |
· |
11 |
= |
||||||||||||||||||||||
|
|
= i |
|
|
|
− |
|
= i |
|
|
|
|
= i |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1, i51 = i4·12+3 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 + 3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
− |
i, то z = |
|
, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
z = |
(−1 + 3i)(1 − 2i) |
= |
|
(−1 + 6) + (3 + 2)i |
= 1 + i. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1.3. Извлечение корня из комплексного числа
Операция извлечения корня целой положительной степени из комплексного числа определяется как операция, обратная возведению в целую положительную степень.
Число w называется корнем n-й степени (n ≥ 2) из числа z, если
wn = z. Обозначают w = √z = z 1 .
n n
Пусть z = r(cos ϕ + i sin ϕ), r > 0, w = ρ(cos ψ + i sin ψ). Тогда по
определению и теореме 1.1 |
|
|
|
|
|
|
|
wn = ρn(cos nψ + i sin nψ) = r(cos ϕ + i sin ϕ). |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ϕ + 2kπ |
|
Отсюда ρn = r, nψ = ϕ+2kπ. Следовательно, ρ = √r, ψk = |
, |
||||||
|
|
|
n |
|
|
||
|
√ |
|
|
|
|
n |
|
k = 0, 1, 2, . . . , n−1. Здесь ρ = |
r |
, ρ > 0 арифметическое значение |
|||||
|
n |
|
|
||||
корня из положительного вещественного числа.
Таким образом, корень n-й степени из комплексного числа z 6= 0 имеет n различных значений. Все корни n-й степени из числа z = 0
по определению полагаются равными нулю.
√
Пример 1.4. Найти все значения 4 −16.
Решение. Так как arg(−16) = π, | − 16| = 16, то −16 = 16(cos π+
+i sin π), ρ = |
√ |
|
= 2, ψk = π + 2kπ |
, k = 0, 1, 2, 3. Следовательно, |
|||||||||
16 |
|||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
4 |
|
|
|
|
w0 = 2 |
cos |
+ i sin |
= |
√2(1 + i), |
|||||||||
|
|
||||||||||||
4 |
4 |
||||||||||||
13