4. Особые точки. Вычеты и их приложения

4.1. Изолированные особые точки

4.1.1. Классификация изолированных особых точек. Устранимые особые точки

Точка z0 называется особой для функции f(z), если функция в

этой точке не является аналитической.

Точка z0 называется изолированной особой, если существует некоторая окрестность точки z0, в которой нет других особых точек, кро-

ме z0.

В основу классификации изолированных особых точек положим поведение предела функции при z → z0.

Изолированная особая точка z0 называется:

1) устранимой особой, если конечен lim f(z);

z→z0

2) полюсом, если lim f(z) = ∞;

z→z0

3) существенно особой точкой, если lim f(z) не существует.

z→z0

Точки, в которых функция аналитична, будем называть правиль-

де, кроме точки z0 = 0. Эта точка является изолированной особой.

X

=an(z − z0)n сходится к f(z) в кольце вида 0 < |z − z0| < R,

n=−∞

т.е. во всём круге |z − z0| < R, кроме точки z0.

90

При изучении изолированных особых точек мы будем исследовать характер поведения ряда Лорана в окрестности этих точек.

Теорема 4.1. Для того, чтобы z0 была устранимой особой точкой функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы ряд Лорана в окрестности z0 функции f(z) не содержал главной части, т.е. имело место

Доказательство. Пусть z0 устранимая особая точка. В окрестности точки z0 функция f(z) ограничена, как имеющая конечный

окружность радиуса ρ с центром в точке z0, ряда Лорана для f(z). Находим |a−n| ≤ 21π I |f(t)||t − z0|n−1ds ≤ 2Mπ ρn−12πρ = Mρn. По-

скольку ρ можно выбрать сколько угодно малым, то отсюда следует, что a−n = 0, и ряд Лорана для f(z) в окрестности z0 имеет вид (4.1).

Обратно, если имеет место разложение (4.1), то lim f(z) = a0 и

z→z0

точка z0 устранимая особая. Мы попутно доказали, что изолирован-

ная особая точка является устранимой особой тогда и только тогда, когда f(z) ограничена в окрестности этой точки.

Замечание. Особую устранимую точку можно "устранить доопределив или переопределив функцию f(z) в точке z0, положив f(z0) =

lim f(z) = a0. Новая функция особенности в точке z0 иметь не бу-

z→z0

дет, т.е. будет аналитической.

4.1.2. Полюсы

Изучение полюсов функции можно свести к изучению нулей другой функции, указанной в следующей теореме.

Теорема 4.2. Функция f(z), аналитическая в некоторой окрестности точки z0: 0 < |z − z0| < R, имеет в точке z0 полюс тогда и только

Доказательство. Пусть точка z0 полюс для f(z). Из определения полюса следует, что в некоторой окрестности 0 < |z − z0| < δ

91

функция f(z) в нуль не обращается. Следовательно, в этой окрест-

литична в точке z0 и имеет в ней нуль.

Обратно, если g(z) 6≡0 аналитична в точке z0 и z0 её нуль, то в некоторой окрестности точки z0 функция g(z) не имеет других нулей (см. теорему 3.33). Следовательно, в окрестности 0 < |z − z0| < δ

z0 для функции f(z) является полюсом. Теорема доказана.

Определение. Кратность нуля z = z0 функции g(z) называется

кратностью или порядком полюса z0 функции f(z).

Теорема 4.3. Точка z0 является m-кратным полюсом функции

где ψ(z) аналитическая в точке z0 функция и ψ(z0) 6= 0. Доказательство. Пусть точка z0 m-кратный полюс функции

1

f(z). Тогда функция g(z) = f(z) , z =6 z0, g(z0) = 0 имеет в этой точке m-кратный нуль, т.е. g(z) = (z − z0)mϕ(z), где ϕ(z) аналитическая

в точке z0 функция f(z) имеет полюс. Покажем, что этот полюс

1

Функция ψ(z) аналитична в точке z0, так как ψ(z0) 6= 0. Обозначая

1 = ϕ(z), получаем g(z) = (z − z0)mϕ(z), где ϕ(z) аналити-

ψ(z)

ческая в точке z0 функция, причём ϕ(z0) 6= 0. Отсюда следует, что

92

функция g(z) в точке z0 имеет m-кратный нуль. Следовательно, в точке z0 функция f(z) имеет m-кратный полюс.

Теорема 4.4. Для того, чтобы изолированная особая точка z0 функции f(z) была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана в окрестности z0 функции f(z) содержала

лишь конечное число членов, т.е. ряд Лорана имел вид

При этом старшая отрицательная степень (z − z0), входящая в (4.3),

совпадает с порядком полюса.

Доказательство. Пусть z0 m-кратный полюс функции f(z).

ψ(z)

Тогда f(z) = (z − z0)m , где ψ(z) аналитическая в z0 функция,

причём ψ(z0) 6= 0. Имеет место

ψ(z) = a0+a1(z−z0)+a2(z−z0)2+· · ·+am(z−z0)m+· · ·, a0 = ψ(z0) =6 0.

Поэтому

Ряд (4.4) лишь обозначениями отличается от ряда (4.3). Пусть имеем ряд (4.3), причём a−m =6 0. Тогда

f(z)(z − z0)m = a−m + a−m+1(z − z0) + · · · + a0(z − z0)m + · · · (4.5)

Ряд (4.5) сходится в некоторой окрестности точки z0, в той же, где и ряд (4.3), а также и в точке z0. Обозначим сумму этого ряда че-

f2(z) = sin(z − 3) − (z − 3). Находим, что точка z0 = 3 для функции f1(z) является нулём порядка 2, а для функции f2(z) нулём порядка 3, следовательно, f1(z) = (z −3)2ϕ1(z), f2(z) = (z −3)3ϕ2(z),

93