Пример 3.5. Доказать, что перестановка бесконечного числа чле-

∞

нов ряда X(−1)n−1 n1 меняет его сумму.

n=1

∞

Решение. В п. 3.1.11 мы докажем, что ряд X(−1)n−1 n1 сходится.

n=1

В п. 3.3.2 показано, что сумма этого ряда равна ln 2, т.е.

Переставим члены ряда (а) так, чтобы за каждым положительным членом следовало два отрицательных. В результате получим ряд

Если бы ряд (б) оказался расходящимся, то невозможность перестановки членов ряда была бы доказана, так как ряд (а) сходится. Предположим, что ряд (б) сходится. Объединим его члены следующим образом:

т.е. перестановка членов ряда изменила его сумму.

3.1.3. Абсолютная и условная сходимость

Как следует из только что рассмотренного примера, сходящиеся ряды не обладают свойствами конечных сумм. Возникает вопрос о выяснении условий, при выполнении которых с рядами можно обращаться как с конечными суммами. Таким условием является абсолютная сходимость.

∞

X

Определение. Ряд (3.2): an называется абсолютно сходящим-

|an|. (3.9)

n=1

Говорят, что ряд (3.2) сходится условно, или неабсолютно, если ряд

(3.2) сходится, а ряд (3.9) расходится.

48

∞

Ряд X(−1)n−1 n1 сходится условно, так как этот ряд сходится, а

n=1

∞

ряд X n1 , составленный из модулей его членов, расходится.

n=1

т.е. из абсолютной сходимости следует сходимость исходного ряда.

n=1

∞

X

сходится и ряд (αn + iβn) и притом абсолютно.

n=1

Теорема 3.5. Если ряд (3.2) сходится абсолютно и его сумма равна S, то при любой перестановке его членов вновь полученный ряд сходится и к той же сумме S.

Коши для ε > 0 N = N(ε) такое, что при n > N и любом p выпол-

n=1

другими номерами. Пусть a′1 = ak1 , a′2 = ak2 , . . . , a′n = akn . Здесь

49

∞

X

k1, k2, . . . , kn номера членов ряда an, поставленных на первые

n=1

n мест в ряде (3.11). Частичные суммы ряда (3.2) будем обозначать Sn, а ряда (3.11) Sn′ . Выберем число n настолько большим, чтобы

множество {k1, k2, . . . , kn} содержало все числа 1, 2, . . . , N. Обозначим m = max(k1, k2, . . . , kn). Тогда частичная сумма Sn′ отличается

от Sn на некоторое число слагаемых (быть может не всех), номера которых больше N и не превышают m, следовательно,

=N+1

как это следует из (3.10). Но (3.12) означает, что Sn и Sn′ имеют

общий предел. Теорема доказана.

Как мы видели (см. пример 3.5), условно сходящиеся ряды переместительным свойством не обладают. Более того, Риманом доказано (для рядов с вещественными членами), что если ряд сходится условно, то какое бы ни взять вещественное число L, конечное или

нет, можно так переставить члены этого ряда, чтобы полученный ряд имел сумму, равную L.

Ранее мы показали, что сходящиеся ряды можно, как и конечные суммы, складывать почленно. Несколько сложнее дело обстоит с произведением рядов.

∞∞

XX

n=1 n=1

дений aibk можно составить бесконечную матрицу

Из этих произведений можно многими способами образовать ряды. Например, суммируя по "квадратам получим

a1b1 + a1b2 + a2b2 + a2b1 + a1b3 + a2b3 + a3b3 + a3b2 + a3b1 + · · · (3.14)

∞∞

XX

n=1 n=1

ряд (3.14), составленный из произведений (3.13), расположенных в

50

любом порядке, также абсолютно сходится и его сумма равна про-

Теорему примем без доказательства.

В практических приложениях наиболее часто встречаются абсолютно сходящиеся ряды. В подразделах 3.1.4 3.1.10 приведены некоторые достаточные признаки абсолютной сходимости.

3.1.4. Признак сравнения абсолютной сходимости в конечной форме

значать соответственно символами (A), (|A|), (B), (|B|).

Теорема 3.7. Если для всех n > n0 ≥ 1 выполняется неравенство

|an| ≤ |bn|, (3.15) то из сходимости ряда (|B|) следует сходимость ряда (|A|), т.е. из аб-

солютной сходимости ряда (B) следует абсолютная сходимость ряда (A), а из расходимости ряда (|A|) следует расходимость ряда (|B|).

Доказательство. Справедливость теоремы 3.7 непосредственно

следует из критерия Коши (см. теорему 3.2). Действительно, если ряд (|B|) сходится, то для него выполнен критерий Коши, но тогда в силу неравенства (3.15) он и подавно выполнен и для ряда (|A|), т.е.

иряд (A) также сходится абсолютно. Если же ряд (|A|) расходится,

то для него не выполнен критерий Коши, но тогда он не выполнен

идля ряда (|B|), т.е. ряд (|B|) расходится.

Замечание 1. Если ряд (|A|) расходится, то из теоремы 3.7 следует, что ряд (B) либо расходится, либо сходится условно. Нужны дополнительные исследования. Если же ряды (A) и (B) содержат лишь вещественные положительные члены и 0 < an ≤ bn, то из расходимости (A) следует расходимость ряда (B). Для таких рядов

понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

∞

X 1

Пример 3.6. Ряд n=1 ns исследовать на сходимость (этот ряд на-

зывается обобщённым гармоническим).

Решение. При s ≤ 1 данный ряд расходится на основании тео-

ремы 3.7, так как в этом случае n ≤ ns , а ряд n=1 n расходится (см. пример 3.4). Пусть s > 1 и s = 1 + σ, где σ > 0. Ряд

51

ственными членами. Имеет место следующее утверждение.

∞∞

Доказательство. Справедливость теоремы 3.8 следует из очевид-

ных неравенств |αn| ≤ |an|, |βn| ≤ |an|, |an| ≤ |αn| + |βn| и теоремы

3.7.

гармонический при s > 1. Поэтому на основании теоремы 3.8 данный

52