- •Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие сведения о математическом моделировании.
- •Численные методы
- •Элементы теории погрешности
- •Понятия мастера и надстройки
- •Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
- •1.1. Матрицы и векторы. Определения
- •1.2. Матрицы специального вида
- •1.3. Действия над матрицами
- •1.4. Нормы матрицы и вектора
- •1.5. Матрицы в задачах строительной механики
- •1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил
- •1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
- •1.5.3, Матричная форма метода сил
- •1.5.4. Матричная форма метода перемещений
- •1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей
- •1.7. Функции Excel для операций над матрицами
- •Категория: математические. Функции:
- •2.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами
- •2.2.3. Метод прогонки
- •2.2.4. Метод (схема) Холецкого
- •2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)
- •2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя.
- •2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса
- •2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы
- •2.6. Вычисление определителя
- •2.7. Вычисление обратной матрицы
- •2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.8.1. Вводные замечания
- •2.8.2. Методы развертывания вековых определителей
- •2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения
- •2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •3.1. Отделение корней
- •3.2. Этап уточнения корня
- •3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)
- •3.2.2.Метод хорд
- •3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •3.3. Системы нелинейных уравнений
- •3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel
- •3.4.1. Решение нелинейных уравнений
- •Последовательность действий
- •4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
- •4.2.4. Сплайн-интерполяция
- •Глава 4. Аппроксимация
- •4.1. Задача и способы аппроксимации
- •4.2. Интерполирование функций
- •4.2.1. Постановка задачи интерполирования
- •4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •4.3. Среднеквадратичное приближение функций
- •4.3.1. Метод наименьших квадратов
- •4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение
- •4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания
- •4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- •Последовательность действий
- •Последовательность действий
- •5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •5.2. Квадратурная формула трапеций
- •5.3. Квадратурная формула Симпсона
- •5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
- •Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
- •6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи
- •6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
- •6.3. Численные методы решения задач Коши
- •6.3.1. Метод Эйлера
- •(геометрический метод решения задачи Коши)
- •6.4. Численные методы решения краевых задач
- •Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
- •Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных
- •Сходимость метода конечных разностей
- •6.5. Вариационный подход к решению краевых задач
- •6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления
- •6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала
- •6.5.3. Метод Ритца
- •6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •Построение второй итерации
- •Последовательность действий.
- •Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
- •Глава 7. Метод конечных элементов
- •7.1. Основные положения МКЭ
- •Построение расчетной модели
- •Аппроксимация искомой функции
- •Составление разрешающих уравнений
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •7.2.1. Классификация конечных элементов
- •Одномерный конечный элемент
- •Двухмерные конечные элементы.
- •элемента
- •Одномерный симплекс-элемент
- •Двухмерный треугольный симплекс-элемент
- •7.2.3. Интерполирование векторных величин
- •7.2.4. Разбиение области на конечные элементы
- •7.2.5 Нумерация узлов и элементов
- •7. 3. Основные соотношения МКЭ
- •7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
- •7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов
- •7.4. Другие типы конечных элементов
- •7.4.1. Элементы Эрмита
- •7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ
- •7.6.1. Специализированные программные комплексы
- •7.6.2. Универсальные программные комплексы
- •8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации
- •8.1. Общие сведения
- •8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •8.1.3. Классификация задач математического программирования
- •8.2. Постановка задачи оптимального проектирования
- •8.2.1. Определение входных и выходных параметров
- •8.2.2. Выбор целевой функции
- •8.2.3. Назначение ограничений
- •8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
- •8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
- •8.3. Задачи линейного программирования
- •8.3.1. Общая постановка задачи ЛП
- •8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными
- •8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Задача об оптимальном плане выпуска продукции
- •Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)
- •Задача о планировании смен на предприятии
- •Задача о покрытии местности при строительстве объектов
- •Транспортная задача
- •Задача о назначениях (проблема выбора)
- •8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании
- •8.4. Нелинейные задачи оптимизации
- •8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
- •8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
- •Основные этапы поиска экстремума
- •8.4.3. Численные методы одномерного поиска
- •Метод перебора или равномерного поиска
- •Метод дихотомии (или половинного деления)
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Метод наискорейшего спуска
- •Метод сопряженных градиентов
- •Метод Ньютона
- •Метод штрафных функций
- •8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц Excel
- •Литература
- •Оглавление
- •Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
по заданным внутренним усилиям, т.е. вычислить коэффициенты следующего линейного преобразования:
Р, - b uS\ + bnS2+.. • b\n3n
Р2 = b2lSi +b22S2+. ..+62,Д,
►
( 1. 12)
= bn\S}+bn2S2+. • • + • |
у |
Преобразование (1.12) называется обратным по отношению к (1.11), а его матрица В является обратной по отношению к матрице
Lm, что записывается в виде |
В = L s' |
(1.13) |
Справедливо также соотношение |
Ls = В"1 |
(1.14) |
1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
При расчете ферм матрицу влияния удобнее получать, составляя вначале уравнения (1.12), которые представляют собой
уравнения равновесия узлов: |
Р = BN , |
(1.15) |
а затем по формуле (1.14) вычислять элемейты матрицы |
Lw |
|
Тогда внутренние усилия в стержнях фермы могут быть |
||
определены по формуле |
N = B~'P = L n P |
О -16) |
Уравнения равновесия узлов фермы (1.15) составляются в виде проекций сил на оси X и У для каждого узла (рис. 1.3 ):
- '£ lco&aJkNJk = Pjx |
-проекция на |
осъХ |
к |
|
(1.17) |
|
|
|
-^sina^TV^ -Pjy |
-проекция па |
осьУ |
. к |
|
|
всего 2куравнений (к - число узлов).
Рис. 1.3. К условию равновесия у-го узла фермы
Здесь суммы содержат столько слагаемых, сколько стержней примыкает к рассматриваемому у-му узлу;
N - вектор неизвестных усилий в стержнях системы (включая опорные стержни), а элементами матрицы В являются синусы и косинусы углов наклона стержней к оси X (рис.1.3).
■ Пример |
1.6. Для фермы |
(рис. 1.4) составим матрицу В обратного |
|||||||
преобразования |
N в Р |
Это преобразование проще всего записать |
|||||||
по строкам, выписывая |
последовательно |
уравнения |
равновесия |
||||||
= 0и |
= 0для узлов 1 и 2, |
|
|
|
|
||||
Р\ —N] +0 + 0 + 0, |
|
|
|
|
|
|
|||
Р2 = 0 + 0 + 0 - N A9 |
|
|
|
|
|
||||
Ръ = 0 + N 2sin а + N3 + 0, (1.17ц) |
|
|
|
|
|||||
Р4 = 0 + N 2 COS а + 0 + Л^4. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.4. Расчетная схема |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
фермы |
|
Матрица В коэффициентов преобразования (1.17а) для данного |
|||||||||
случая, а соответственно и матрица влияния LN |
имеют вид |
|
|||||||
'1 |
0 |
0 |
о" |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
В = 0 |
0 |
0 |
-1 |
, |
Lw = В_| = |
0 |
5/3 |
0 |
5/3 |
0 |
0,8 |
1 |
0 |
’ |
/V |
0 |
-4/3 |
1 -4/3 |
|
0 |
0,6 |
0 |
1 |
|
|
0 |
-1 |
0 |
0 |
Тогда внутренние усилия в стержнях фермы от действия внешней нагрузки легко определятся по формуле (1.16)
|
о |
|
О |
О |
1 |
Y |
" 1 " |
|
|
|
|
|
|
||
0 |
5/3 |
|
0 |
5/3 |
|
0 |
5 |
0 |
-4/3 |
|
1 |
-4/3 |
|
0 |
-4 |
0 |
- 1 |
0 |
|
0 |
|
3 |
0 |
Расчет статически неопределимых систем в
строительной механике обычно производится с помощью
классических методов строительной механики: метода сил и метода перемещений.
Расчет систем любым из этих методов в матричной форме производится в два этапа:
первый этап включает в себя выбор основной системы и составление исходных матриц, описывающих упругие свойства системы, ее геометрию и условия внешнего воздействия;
второй этап расчета состоит в последовательности матричных операций, которая одинакова для всех задач, решаемых одним и тем же методом.
1.5.3, Матричная форма метода сил
Пусть задана стержневая система, имеющая п лишних связей. Требуется рассчитать эту систему методом сил на t различных видов загружения.
Система канонических уравнений метода сил в матричной форме запишется в виде
где
|
' * 1 . |
8 |
п |
|
|
|
|
|
|
6 |
^21 S |
2 2 |
* 2 „ |
|
= |
|
|
|
|
|
A i |
|
|
S m _ |
|
" А п |
|
Л | ц |
A i t |
д |
Л 21 |
|
^211 |
^ 2 t |
= |
|
|
|
|
8-Х= А, |
(1.18) |
матрица |
единичных |
перемещений |
или |
матрица податливости; |
(1.19) |
|
|
||
матрица грузовых |
|
|
перемещений в |
( 1.20) |
|
основной системе метода |
||
|
||
сил; |
|
_А„1 A nil |
A ,u |
х 1Х |
*.и |
*1, |
|
|
^21/ |
* 2, |
матрица неизвестных усилий. (1.21) |
||
X = |
|
|
||
Хт |
*„,1 |
|
|
|
Решением матричного уравнения (1.18) будет |
|
|||
|
|
|
Х = -8"‘ А. |
(1.22) |
1.5.4. Матричная форма метода перемещений
При расчете системы, степень кинематической неопределимости которой равна и на t видов загружений, канонические уравнения метода перемещений в матричной форме имеют вид
|
r-Z—Rp, |
|
|
|
(1.23) |
|
'и |
r\2 |
r\n |
- матрица |
|
Г 2 |
r2\ |
r22 |
r2n |
(1.24) |
|
- i - |
|
|
жесткости, |
||
|
|
|
|
||
|
_rn\ |
rn2 |
ri»«- |
|
|
- или матрица единичных реакций во введенных связях основной системы метода перемещений.
|
Zj| |
ZIH |
|
Z2j |
^211 |
1------ |
3^ |
3^ |
|
N |
N |
|
^ l i |
^ i i i |
R = |
^21 |
^211 |
|
|
|
|
_ *n l |
* m i |
z 2t |
матрица неизвестных |
(1.25) |
|
перемещений, |
|
|
|
|
Z n._ |
|
|
V |
матрица грузовых |
|
* 2 . |
реактивных усилий в |
(1.26) |
|
условно наложенных |
|
|
|
связях.
V
Решением уравнения (1.23) будет |
(1.27) |
Z=- Rpr |
1.5.5. Связь между матрицей податливости и матрицей жесткости
Рассмотрим какую-либо деформируемую систему и приложим к ней систему сил Р\, Рг......Рт(рис. 1.5, а).
|
•Р2 |
|
Р. |
1D |
|
31 |
|
2 |
J |
|
|
П |
*1г2 |
1Г |
I 1 |
< j ' |
Г 17Я |
t 1у |
|
|
[Ji |
L & “73 |
|
|
\Л2 _ |
|
|
|
|
JfXU |
i t |
ttt |
i |
Г T 21 |
il |
J1 |
»1 |
Tru |
I? |
|
|
Рис. 1.5. Деформируемая балка
Возникающие при |
этом |
перемещения Д(, Д2,... Д,„ |
определяются на основании обобщенного закона Гука |
||
А = бР, |
(1.28) |
|
где 8 - матрица единичных перемещений; |
||
|
'A ,' |
|
Д = |
; |
P = Pi |
A,„. |
Л . |
|
Потребуем, чтобы все перемещения, кроме Д|, равнялись нулю (рис. 1.5,6):
1
О
О
и будем разыскивать соответствующий вектор нагрузок ? = 6_| Ai.
Эту задачу можно трактовать как нахождение реакций в т связях при смещении одной из них на единицу (рис. 1.5,6 ).
Заменим обозначение на г\ =
Тогда из первого уравнения, получим П =6"'А|.
Затем сместим на единицу вторую связь (рис. 1.5,в) и найдем так же
|
|
|
Г, = 6 " % . |
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
/*12 |
|
---- |
|
|
|
1 |
|
|
|
>22 |
t< |
|
Здесь |
г 2 = |
II 0 |
||
|
|
гм |
||
|
|
_гт2_ |
|
о |
|
|
|
|
------1 ____1 |
Аналогично определяются все остальные векторы реакций,
заканчивая вектором гш Выражения для них сведем в одно матричное равенство
г = б-1А, |
(1.29) |