Рис.8.18. Классы методов безусловной оптимизации

Известны также методы условной оптимизации, например, такие как методы проекции градиента, допустимых направлений, метод Заутендайка [44] и др.

Основные этапы поиска экстремума

Для конкретизации дальнейшего изложения будем считать, что в процессе оптимизации ищется минимум целевой функции.

Практически во всех методах оптимизации стремятся

построить такую последовательность значений Х о ,Х \,Х г-.~ , при которой Z{X \),> 2 (Х г ) > 2 (Х ъ )> .... В этом случае метод обеспечивает сходимость и можно надеяться, что минимум функции будет найден.

Численные методы поиска оптимума позволяют построить

такую последовательность шагов от начальной точки Хо через

некоторые промежуточные точки Хк к локальному экстремуму

_

X Схема алгоритма поиска для общего случая показана на

Рис. 8.19. Основные этапы алгоритма поиска экстремума

Как отмечалось выше, выбор исходной точки X о поиска во многом определяет успех решения всей задачи. Очевидно, что

X о должна принадлежать области определения целевой функции,

и чем ближе к экстремуму выбрана Х о , тем быстрее и с большей вероятностью экстремум будет найден.

Сущность метода оптимизации определяется этапами 4 и 5 алгоритма, на которых выбирается направление дальнейшего

поиска и вычисляются координаты очередной точки Хк+\ на

определяется информация, позволяющая судить о достигнутом успехе. Исследователь может назначить различные условия прекращения поиска, и в зависимости от степени их выполнения поиск будет продолжен или прекратится.

Важной характеристикой методов является их скорость сходимости. Однако оценка сходимости того или иного метода обычно базируется на некоторых теоретических предпосылках относительно особенностей целевой функции (например, функция дважды непрерывно дифференцируема или сильно выпукла), а также зависит от выбора начальной точки поиска.

8.4.3. Численные методы одномерного поиска

Рассмотрение методов оптимизации удобно начинать с одномерного случая, т.е. функций, аргументом которых является один параметр Z=Z(x).

Существование локальных минимумов функции Z(x), отличных от глобального, почти всегда затрудняет поиск решения х , поэтому многие приближенные (численные) методы минимизации применимы только тогда, когда любой локальный минимум Z(x) является одновременно и глобальным. Один из классов функций, удовлетворяющих этому условию, составляют

унимодальные (одноэкстремальные) функции.

Методы, рассматриваемые далее, строятся в предположении унимодальности функции Z(x) на заданном интервале отрезка [а,Ь\. Обозначим через JC* искомое значение управляемого параметра, доставляющего минимум целевой функции Z,(x). К функции не предъявляются требования дифференцируемости или непрерывности. Предполагается, что для любого х е \а,Ь\ значение Z(x) может быть вычислено, т. е. найдено путем вычислительного эксперимента.

Методы одномерного поиска можно разделить на: