На практике оценка сходимости разностной схемы, как и в задачах Коши, производится методом половинного шага, т.е. находится численное решение задачи на сетке С1п с шагом h и на сетке П2п с шагом h/2. Если значения полученных решений (двух сеточных функций) в одинаковых узлах отличаются друг от друга не более чем на 1-5%, то полученную сеточную функцию на сетке 0.2п принимают за приближенное решение задачи. В противном случае шаг уменьшают еще в два раза. Понятие сходимости разностной схемы тесно связано с понятием точности и устойчивости.

Точность аппроксимации и устойчивость решения можно оценить следующим образом. Известно, что ошибка, возникающая при замене производных конечными разностями, пропорциональна квадрату шага h2(т.е. ~сИ2). Производя расчет на двух, грех сетках с различными шагами h , сравнивают решения. Если при убывании h все решения близки между собой и стремятся к некоторому пределу со скоростью, соответствующей порядку с(h2) точности схемы, то это свидетельствует о хорошей сходимости и устойчивости.

6.5. Вариационный подход к решению краевых задач

Вариационный подход - это применение вариационных методов к решению краевых задач. Он получил широкое распространение после того, как немецкий математик Ритц в 1908 году предложил удобный прием построения приближенного решения вариационной задачи.

Прежде чем рассматривать вариационные методы решения краевых задач, введем некоторые основные понятия теории вариационного исчисления.

6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления

Основным объектом изучения вариационного исчисления является функционал [46].

Функционал - это функция, зависящая от функции, т.е*

аргументом функционала является функция. Примеров

Ь

функционала может служить определенный интеграл J =

а

который принимает некоторое числовое значение при подстановке каждой конкретной функции в подынтегральное выражение. Функционал может зависеть от нескольких функций или от функций нескольких независимых переменных.

вариационном исчислении изучаются методы нахождения экстремальных значений функционалов. Задачи, в которых требуется исследовать функционал на максимум или минимум, называются вариационными задачами.

Методы решения вариационных задач весьма сходны с методами исследования функций на максимум или минимум.

В дифференциальном исчислении [9, 28] рассматривается доказательство теоремы:

Если дифференцируемая функция f(x) достигает максимума или минимума во внутренней точке х - х 0области определения функции, то в этой точке d f —0 •

ледовательно, для нахождения экстремума функции, вычисляется 1-я производная этой функции и приравнивается к нулю. результате определяется значение аргумента х0, при котором функция/ максимальна или минимальна.

При исследовании функционалов вариация функционала играет такую же роль, как и дифференциал df при

исследовании функций.

В вариационном исчислении [46] доказывается аналогичная теорема:

Если функционал */[у(л)], имеющий вариацию, достигает максимума

или минимума при у ~ у 0(х)у где у(х) - внутренняя точка области определения

Значит, необходимым условием экстремума функционала является обращение в нуль вариации функционала. Процесс варьирования функционалов производится аналогично дифференцированию сложных функций.

Поскольку аргументом функционала является функция, то именно функция У=Уо(х), которая называется эстремалью, доставляет экстремум функционалу.

Отметим, что если у(х) доставляет функционалу J минимум,

то82J >0, а если максимум , то 8 2J < 0.

6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала

Многие законы механики и физики сводятся к утверждению, что некоторый функционал, связанный с физическим процессом, должен достигать минимального или максимального значения. В такой формулировке эти законы называются вариационными принципами механики или физики.

Например, вариационный принцип возможных перемещений Лагранжа формулируется так

Из всех возможных перемещений упругой системы, только действительные перемещения сообщают полной потенциальной энергии минимальное значение,

или упругая система находится в равновесии, если сумма работ всех

внешних и внутренних сил на любых возможных перемещениях равна 0.

Аналитически это можно записать 877 = 8(1/ - Т) =0.

Здесь: П - полная потенциальная энергия системы (функционал),

U - потенциальная энергия упругой деформации, Т - работа внешних сил.

В вариационном исчислении [46] рассматривается доказательство того, что если функция у = у(х) доставляет

экстремум, то эта же функция должна являться решением

дифференциального уравнения Эйлера - Пуассона:

Это дифференциальное уравнение порядка 2п. Его интегральные кривые называются экстремалями рассмотренной вариационной задачи. Общее решение этого уравнения содержит 2п произвольных постоянных, которые могут быть определены из 2п граничных условий.

Таким образом, существует связь между нахождением экстремума функционала и решением дифференциального уравнения.

Причем во многих практических задачах функционал, связанный с краевой задачей имеет вполне определенный физический смысл. Так, в задачах механики деформируемого тела функционал представляет собой потетршльную энергию системы.

■Для иллюстрации рассмотрим простую

Его общее решение содержит 4 произвольные постоянные, которые можно определить из граничных условий. Для балки с шарнирными

/

Сумма работ внешних сил: Т = jV/ Xydx.

о

Полная потенциальная энергия системы (функционал)

О

Функция у = у(х), сообщающая минимум этому функционалу, должна быть решением уравнения Эйлера - Пуассона (6.77).

Составим уравнение Эйлера - Пуассона:

дифференциальное уравнение изгиба балки, совпадающее с (6.78).

ё Следовательно, решить краевую задачу - это то же самое, что найти экстремум функционала, связанного с этой задачей.

d Справедливо и обратное утверждение: найти экстремаль функционала - это то же самое, что решить краевую задачу, связанную с этим функционалом.

Приведем некоторые примеры функционалов, связанных с практическими задачами из области строительства.

1. Для квазигармонического уравнения

= R{x,y,z)

dz\ ‘ dz

с граничными условиями Дирихле

и условиями Коши

или Неймана

нормали п к границе S ,

функционал, связанный с этой краевой задачей, имеет вид

•*2

В вариационной формулировке граничные условия условно подразделяются на главные и естественные.

Граничные условия Дирихле являются главными граничными условиями и должны быть учтены при конструировании области определения функционала. Граничные условия Коши (или Неймана) являются естественными граничными условиями и в решении удовлетворяются автоматически.

2. Для краевой задачи (6.8), описывающей деформированное состояние элементов произвольной стержневой системы, функционал, - потенциальная энергия системы имеет вид

dx2 , \d x j

3. Для краевой задачи Дирихле (например, для плоской задачи теории упругости)

32<р 32ф = 0 ,

дх2 ду2

Фа- =

функционал имеет вид