- •Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие сведения о математическом моделировании.
- •Численные методы
- •Элементы теории погрешности
- •Понятия мастера и надстройки
- •Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
- •1.1. Матрицы и векторы. Определения
- •1.2. Матрицы специального вида
- •1.3. Действия над матрицами
- •1.4. Нормы матрицы и вектора
- •1.5. Матрицы в задачах строительной механики
- •1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил
- •1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
- •1.5.3, Матричная форма метода сил
- •1.5.4. Матричная форма метода перемещений
- •1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей
- •1.7. Функции Excel для операций над матрицами
- •Категория: математические. Функции:
- •2.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами
- •2.2.3. Метод прогонки
- •2.2.4. Метод (схема) Холецкого
- •2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)
- •2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя.
- •2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса
- •2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы
- •2.6. Вычисление определителя
- •2.7. Вычисление обратной матрицы
- •2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.8.1. Вводные замечания
- •2.8.2. Методы развертывания вековых определителей
- •2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения
- •2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •3.1. Отделение корней
- •3.2. Этап уточнения корня
- •3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)
- •3.2.2.Метод хорд
- •3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •3.3. Системы нелинейных уравнений
- •3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel
- •3.4.1. Решение нелинейных уравнений
- •Последовательность действий
- •4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
- •4.2.4. Сплайн-интерполяция
- •Глава 4. Аппроксимация
- •4.1. Задача и способы аппроксимации
- •4.2. Интерполирование функций
- •4.2.1. Постановка задачи интерполирования
- •4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •4.3. Среднеквадратичное приближение функций
- •4.3.1. Метод наименьших квадратов
- •4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение
- •4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания
- •4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- •Последовательность действий
- •Последовательность действий
- •5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •5.2. Квадратурная формула трапеций
- •5.3. Квадратурная формула Симпсона
- •5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
- •Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
- •6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи
- •6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
- •6.3. Численные методы решения задач Коши
- •6.3.1. Метод Эйлера
- •(геометрический метод решения задачи Коши)
- •6.4. Численные методы решения краевых задач
- •Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
- •Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных
- •Сходимость метода конечных разностей
- •6.5. Вариационный подход к решению краевых задач
- •6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления
- •6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала
- •6.5.3. Метод Ритца
- •6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •Построение второй итерации
- •Последовательность действий.
- •Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
- •Глава 7. Метод конечных элементов
- •7.1. Основные положения МКЭ
- •Построение расчетной модели
- •Аппроксимация искомой функции
- •Составление разрешающих уравнений
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •7.2.1. Классификация конечных элементов
- •Одномерный конечный элемент
- •Двухмерные конечные элементы.
- •элемента
- •Одномерный симплекс-элемент
- •Двухмерный треугольный симплекс-элемент
- •7.2.3. Интерполирование векторных величин
- •7.2.4. Разбиение области на конечные элементы
- •7.2.5 Нумерация узлов и элементов
- •7. 3. Основные соотношения МКЭ
- •7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
- •7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов
- •7.4. Другие типы конечных элементов
- •7.4.1. Элементы Эрмита
- •7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ
- •7.6.1. Специализированные программные комплексы
- •7.6.2. Универсальные программные комплексы
- •8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации
- •8.1. Общие сведения
- •8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •8.1.3. Классификация задач математического программирования
- •8.2. Постановка задачи оптимального проектирования
- •8.2.1. Определение входных и выходных параметров
- •8.2.2. Выбор целевой функции
- •8.2.3. Назначение ограничений
- •8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
- •8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
- •8.3. Задачи линейного программирования
- •8.3.1. Общая постановка задачи ЛП
- •8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными
- •8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Задача об оптимальном плане выпуска продукции
- •Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)
- •Задача о планировании смен на предприятии
- •Задача о покрытии местности при строительстве объектов
- •Транспортная задача
- •Задача о назначениях (проблема выбора)
- •8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании
- •8.4. Нелинейные задачи оптимизации
- •8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
- •8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
- •Основные этапы поиска экстремума
- •8.4.3. Численные методы одномерного поиска
- •Метод перебора или равномерного поиска
- •Метод дихотомии (или половинного деления)
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Метод наискорейшего спуска
- •Метод сопряженных градиентов
- •Метод Ньютона
- •Метод штрафных функций
- •8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц Excel
- •Литература
- •Оглавление
- •Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
4.2.Интерполирование функций
4.2.1.Постановка задачи интерполирования
Простейшая задача интерполирования заключается в следующем [9, 12]. На отрезке [а,Ь] заданы n+1 точек лг0, хъ ...,х„ которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функцииy=f(x) в этих узлах: y0=ffa), yi=f(x\), ■■■,Уп=/(хп).
Требуется построить функцию ц>(х) (интерполирующую функцию), принимающую в узлах интерполяции те же значения,
что и функцияf(x), т.е. |
|
<?(хо)=Уо, Ц(х\)=У\,-Мхп>=Уп.- |
(4.2) |
Геометрически это означает, что нужно найти кривую У=Ц>(х) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек (рис.4.1)
Рис.4.1. Геометрический смысл задачи интерполирования.
В такой общей постановке задача может иметь бесчисленное множество решений или совсем не иметь решений.
Однако задача становится однозначной, если в качестве интерполирующей функции взять многочлен Р„(х) степени не выше п, удовлетворяющий условиям:
Рп(х0)=у0, Р„(Х\)=У\ ,■■■, Рп(хп)=уП. |
(4.3) |
Интерполяционную формулу
}(х)=Рп(х) |
(4.4) |
обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции y=f(x) в точках хе[х0, х„], отличных от узлов интерполяции. Такая операция называется интерполированием
функции. С другой стороны, имея интерполяционную зависимость (4.4) можно сделать прогноз о поведении функции y=f(x) вне отрезка [а,Ь\, это уже называется экстраполяцией.
Таким образом, под интерполяцией понимается нахождение приближенных промежуточных значений таблично заданной функции строго внутри таблицы, тогда как экстраполяция - нахождение приближенных значений функции за пределами промежутка [хо> х„].
4 Понятие интерполирование и экстраполирование становятся очевидными, зная их латинское происхождение: inter —между, extra —вне, polire —делать гладкими.
4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
Пусть на отрезке [а,Ь] функция у=/(х) задана таблично, т.е. задана для п+1 значений аргумента xh (/=0,1,..,и) и принимает соответствующие значения y-r=f(xj), ( /=0,1,..,н).
Поставим задачу найти алгебраический многочлен (полином):
П |
|
Ln{x) = X а ь х>С = а о + а \Х + а 2х 2 + + а „ х п |
(4.5) |
к=0 |
|
степени не выше п такой, чтобы |
|
L„(xj)=yj, при /=0,1,..,«, |
(4.6) |
т.е. имеющий в заданных узлах х„ (г=0,1,..,«) те же значения, что и функцияf(x).
Сам многочлен L„(x) называется интерполяционным полиномом, а задача - полиномиальной или параболической интерполяцией.
Найти многочлен L„(x) - это значит найти его коэффициенты а^, а\,...,ап. Для этого имеется п+1 условие (4.6), которые записываются в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных а,, (/=0, 1,...,»):
ао
ао
+ |
а хх 0 + а 2Хо + |
+ а „ х х |
+ |
а хх х + а 2х х + |
+ а пх[ |
(4.7)
а о + а \ Хп + а 2х гп +
где Xj и у\ (г'=0,1,... ,п) - табличные значения аргумента и функции
Из курса алгебры известно, что определитель этой системы:
1 |
х0 |
х0 |
х 0п |
А= 1 |
х, |
х\ |
- определитель Вандермонда |
1 |
х„ |
х„ |
|
отличен от нуля и, следовательно, система (4.7) имеет
единственное решение.
Определив коэффициенты ао, из системы (4.7), получаем так называемый интерполяционный полином Лагранжа
для функцииf(x):
L |
,.х |
(* -*i)•••(*-*,,) |
, |
( х - х 0)(х-х2)...(х-хп) |
+ |
|||
|
(x0-xi)...(x0-x„) |
0 |
{x{- x 0)(xi - x 2)...(x1- x n) |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.8) |
|
|
( (*-*о)(*-*1)-(* -* и-1) |
|
|
|
|||
|
|
(*и -*оХ*и |
|
|
|
|
|
|
В сокращенном виде его можно записать так: |
|
|
|
|||||
Г ( |
= V |
~ Х 0 ) " • ( ^ ~ * / - 1 X * ~ x i + \ ) • • • ( х ~ х п ) .. |
( А 8 а \ |
|||||
|
ы о |
(Л<~*o )••■(*/ -*/-i)(*/ |
-*,+i )•••(*/ - |
Х П ) У ' |
|
|||
|
Существует доказательство |
[9, 12], что |
по |
заданным n+1 |
||||
значениям |
функции |
можно |
построить |
единственный |
||||
интерполяционный многочлен Лагранжа (4.8). |
|
|
|
|||||
На практике широко используются интерполяционные многочлены Лагранжа первой (я=1) и второй («=2) степени.