3.1. Отделение корней

Отделить (локализовать) корни - это значит выделить из области допустимых значений функции f(x) отрезки, в каждом из которых содержится единственный корень.

Для функции общего вида не существует универсальных методов решения задачи локализации корней. Отделить корни уравнения Дх)=0 можно разными способами:

1)Строится таблица значений функции y=f(x) на некотором отрезке хе[а, Ь] (табулирование функции). Если окажется, что для соседних значений аргумента значения функции имеют разные знаки, то корень функции может находиться между ними (пример 3.1).

2)Графический метод. Если удается построить график функции y=f(x), то можно определить количество и расположение нулей функции, выделяя те промежутки оси X , где график y=f(х) пересекается с осью.

Если построение графика у =f(x) затруднительно, то исходное уравнение Дх)=0 заменяется эквивалентным ему уравнением

(р(х)=\у(х) и строятся графики функций yi=q>(x) и у2=\у(х).

Искомый корень является абсциссой точки пересечения этих графиков.

3) Исходя из физического смысла задачи. Убедиться в том, что на данном отрезке хе[а, Ь] (например, грубо определенном графическим способом) действительно имеется единственный корень уравнения (3.1), можно аналитическим способом, в основе которого лежит известная теорема математического анализа [12]:

► Теорема 3.1. Если непрерывная на отрезке [а Ь] функция f(x)

принимает на концах его противоположные знаки, т.е. f(a) f(b)<0 , то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения (3.1). Корень заведомо будет единственным, если производная f(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (а, Ь), т.е. если f(x) >0 (илиf(x<0)) при а<х<Ь.