Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных

Конечно-разностная аппроксимация для частных производных во многом напоминает рассмотренную выше для

обыкновенных дифференциальных уравнений.

В область решения вводят равномерную сетку «узловых точек», соответствующую характеру задачи и граничным условиям. Виды сеток, наиболее часто используемых при численном решении дифференциальных уравнений в частных производных, показаны на рис.6.12. Обычно в МКР используют правильные (регулярные) сетки, шаг которых либо одинаковый по осям х и у, либо разный.

Рис. 6.12 Виды сеток: а- прямоугольная; б- полярная; в - треугольная; г- скошеная

Индекс / присваивается переменной х, а индексj - переменной у.

Обозначим величину зависимой переменнойf(x,y).

По аналогии с обыкновенными производными частную производную f(x,y) принято представлять в виде (центрально­ разностная формула производной от/п о х при постоянном у)

Здесь также можно использовать левые и правые разности.

Шаг по осям х и у может быть принят и одинаковым, например It.

Для удобства обозначения f ( x , +И,у^ заменим на f M j , а

f(X i,y j+ k ) на / у+| ит.п.

Тогда, выражения для частных производных первого и второго порядка в узле с координатами х,-и у/ можно записать:

Далее дифференциальные операторы в определяющем уравнении задачи заменяют их разностными аналогами. При этом решаемое уравнение в частных производных записывают в наиболее удобной системе координат и, представляя производные

разностной форме, приводят его к виду разностного уравнения. Полученное разностное уравнение используют в дальнейшем для описания связи между соседними узлами сетки. Разностное уравнение записывают для всех внутренних узлов сетки. При переходе от дифференциальной задачи к разностной необходимо таюке аппроксимировать граничные условия. Совокупность разностного уравнения и разностных краевых условий называется

разностной схемой краевой задачи, которая представляет собой систему п уравнений с п неизвестными значениями искомой функции в узлах.

Полученную систему алгебраических уравнений решают одним из численных методов (см. главу 2).

■ Пример 6.12. Рассмотрим длинную квадратную трубу с квадратным отверстием, по которой течет горячая жидкость. Труба наполовину погружена в ледяную ванну, так что температура нижней половины поверхности трубы равна 0°С. Верхняя плоскость трубы находится при постоянной температуре 20°С. Кроме того, предположим, что температура наружной поверхности трубы линейно изменяется от 0°С до 20°С на участке между ледяной ванной и верхней плоскостью трубы. Жидкость внутри трубы имеет температуру 80 °С. Наружный размер трубы равен 200 мм, внутренний - 100 мм. Поперечное сечение трубы изображено на рис.6.14.

Рис.6.14. Сечение трубы в примере 6.12

Этому уравнению удовлетворяет распределение температур внутри трубы, а распределение температур на границах задается граничными условиями.

Пусть h=k, т.е. интервалы разбиения в направлениях х и у примем одинаковыми, тогда Я=1и разностные уравнения можно записатькак

для /=1,2,3,...,л-1 и у=1,2,3,...,/и-1.

Предположим, что по наружному размеру в направлениях л и у сделано разбиение на 20 интервалов, так что h=k= 10мм.

Тогда граничные условия запишутся так:

Запишем подробнее несколько разностных уравнений (6.74):

J

Продолжая и далее таким же образом, т.е. увеличивая каждый раз / и проходя значения /=1,2,...,19 до7=19, получим систему 240 линейных