Эти средства включают в себя:

•теорию, которая дает общее понимание модели и процесса решения задачи, что является одним из путей достижения качественного представления о том, что происходит в действительности;

•методы, которые дают средства решения задачи (метод есть совокупность указаний или шагов решения задачи);

•математическое обеспечение - это законченный метод, воплощенный в программе для ЭВМ. В самом лучшем случае достаточно просто нажать кнопку РЕШИТЬ, чтобы получить ответ.

Элементы теории погрешности

Решение, получаемое в процессе исследования исходного объекта методом математического моделирования, всегда получается приближенным, то есть содержит некоторые погрешности.

Источниками погрешностей являются [9, 13]:

•Погрешность задачи, обусловленная неточным заданием математической модели. Погрешность ММ рассматриваться здесь не будет.

•Погрешность исходных данных. Для вычислителя это

неустранимая погрешность (не зависит от математики). Исходные данные чаще всего задаются неточно. Они могут быть получены в процессе эксперимента. В технических задачах погрешность измерений допускается в пределах 1- 10%.

•Погрешность метода или погрешность дискретизации, возникающая при замене исходной задачи - дискретной (характеризует сходимость ЧМ).

Погрешность численного метода решения задачи связана с тем, что точные операторы и исходные данные заменяются приближенными. Например, интеграл заменяется суммой, производная - разностью, функция - многочленом (разложение в ряд), бесконечный итерационный процесс заканчивается после выполнения конечного числа итераций и т.д.

погрешность снижает точность результата, а меньшая бесполезна. Надо помнить, что никакие манипуляции с данными не увеличат их точность. Как правило, описание того или иного численного метода содержит оценку точности этого метода.

• Погрешность округлений возникает при выполнении арифметических действях над числами, так как ЭВМ оперирует с числами, имеющими конечное число значащих цифр.

Все эти погрешности в сумме составляют полную погрешность результата решения задачи.

Поскольку первые два типа погрешности не зависят от вычислителя, то нет смысла решать задачу существенно точнее, чем это диктуется неопределенностью исходных данных. Таким образом, погрешность метода должна подчиняться погрешности задачи. Погрешность округлений не должна существенно отражаться на результатах реализации методов, т.е. должна подчиняться погрешности метода [9].

Рассмотрим некоторые подходы к учету погрешностей действий.

Пусть А и а - два «близких» числа. Условимся считать А точным,

Величина Да может быть, например, ценой деления измерительного прибора или оценкой величины ошибки округления числа Л.

Величина абсолютной погрешности мало что говорит о действительной точности измерения. Например, если длина балки может быть измерена с точностью Аа=1 мм, то измерение толщины оконного стекла с такой же точностью недопустимо.

Поэтому удобней пользоваться величиной относительной

погрешности

Абсолютную и относительную погрешности принято округлять в большую сторону.

При выполнении арифметических операций сложения (вычитания) складываются (вычитаются) абсолютные погрешности, а при умножении и делении - относительные погрешности [9, 12].

Точность, устойчивость и сходимость при численном решении

Когда выбирается вычислительная процедура (ЧМ), необходимо оценить наряду с другими ее характеристиками

точность, устойчивость и сходимость.

Точность- - это мера близости численного решения к точному, или истинному, решению.

Устойчивость определяется ростом ошибок при выполнении отдельных вычислительных операций. Неустойчивое вычисление является результатом аппроксимации, округления или других ошибок, которые неограниченно накапливаются, вследствие чего истинное решение вскоре тонет в ошибках.

Сходимость - это постепенное приближение последовательно вычисляемых решений к предельному по мере того, как уточняются некоторые вычислительные параметры.

Термин «сходимость» применяется как к итерационной процедуре, в которой некоторые или все результаты одного вычисления становятся входной информацией для другого (повторного) вычисления, так и к выбору подходящих (аппроксимирующих) функций при описании какого-либо процесса или явления. Таким образом, в сходящейся процедуре разница между

последовательными результатами должна уменьшаться, стремясь в пределе к нулю. Эти три термина иллюстрирует рис. 1.

Наст ойчивое

вычисление

А

V -

Верхняя граница

Ошибка (точность) п р е д ш Ш ^ Ш ш н и в

ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ

Нижняя граница

Рис. 1. Точность, устойчивость и сходимость:

• расходящаяся процедура; х - сходящаяся процедура.

Более точные определения можно найти в книгах по численному анализу и методам вычислении [5, 45]. Следует отметить, что желательной является устойчивость каждого вычисления, когда последовательные результаты быстро сходятся к точному решению. Из рис. 1 видно, что по мере уточнения параметров вычислительной процедуры точность растет, если процесс сходится, и падает, если он не сходится.

Решение численных задач с использованием электронных таблиц EXCEL

Электронные таблицы Excel корпорации Microsoft входят в состав пакета Microsoft Office для операционной системы Windows. Возможности Excel весьма многогранны, а их интерфейс удобен, гибок и понятен.

Приложение Microsoft Excel предназначено для выполнения табличных расчетов, характерных для управления и бизнеса. Однако заложенные в него инструментальные средства позволяют

успешно решать и инженерные задачи (выполнять расчеты по формулам, строить графические зависимости и т.п.), а также он является удобным средством реализации численных методов.

Работа в среде Excel не требует квалификации программиста, а осуществляется непосредственно специалистом, изучающим данную проблему, который совмещает функции постановщика, программиста и конечного пользователя, анализирующего полученные результаты.

Далее мы рассмотрим возможности Excel для реализации численных методов на примерах некоторых практических задач, приведенных в теоретических разделах.

Предполагается, что читатель имеет некоторые навыки работы с приложением MS Excel, представляет, как в ячейки таблицы вводятся текстовая информация, числа, формулы, а также понимает, что такое абсолютный и относительный адрес

ячейки. При необходимости следует обратиться к специальной литературе по практическому применению электронных таблиц Microsoft Excel [ 29, 38 ].

Напомним, что формула - это выражение, с помощью которого вычисляется новое значение (результат) по уже существующей информации. Ввод формулы, в принципе, не представляет никаких трудностей, нужно только не забывать ставить перед записью формулы знак равенства!

ёВнимание!

Далее в текстах примеров запись формулы будет начинаться с номера ячейки, в которую будет вписываться формула.

В таблицу же Excel формула вписывается, начиная со знака равенства « = ».

При исполнении формул Excel придерживается стандартных правил алгебры.

Замечательной особенностью Excel является его способность копировать (или дублировать) формулу в соседние ячейки.