7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ

По-видимому, при решении любой достаточно ответственной задачи нельзя обойтись без анализа качества полученного решения. В теории МКЭ большое внимание уделяется проблеме сходимости, т.е. оценке точности получаемого приближенного решения при неограниченном сгущении сетки конечных элементов. Строгое доказательство таких важных свойств, как сходимость, устойчивость и точность метода, проводится в соответствующих разделах математики [16, 26, 34] и часто представляет собой непростую проблему.

Установлен [16] ряд важных теорем о сходимости.

Например, для совместных элементов определено, что если (к-]) является степенью полинома, с помощью которого внутри конечных элементов аппроксимируется перемещение и решается эллиптическая краевая задача порядка 2т, для которой получено приближенное решение в перемещениях м*, то ошибка в энергии

по сравнению с точным решением и составляет

Щи-м*, и-и*) < C2/i2(k'm)||u||2k,

где h - максимальное значение относительного размера элемента (шаг сетки).

При естественных ограничениях на исходные данные и сетку области сходимость имеет место, и погрешность в определении напряжений и деформаций имеет порядок ch/L, где через с обозначена константа, зависящая от формы области; h — шаг сетки; L — характерный размер области. Эта оценка может служить ориентиром при назначении шага сетки в зависимости от желаемой точности.

Указанные оценки сходимости МКЭ ориентированы на выяснение асимптотических свойств решения, а практического расчетчика обычно интересует степень близости приближенного решения, полученного на вполне определенной сетке конечных элементов. Причем под "практической сходимостью" мы будем понимать возможность получения приемлемой точности при сравнительно грубом разбиении. Поэтому на практике качество

полученного решения обычно проверяют путем повторного рассмотрения задачи на другой более мелкой сетке элементов. Конечно, большую задачу, вряд ли, стоит решать целиком на сгущающихся сетках, но очевидно, что выполнение такого анализа для характерных фрагментов расчетной схемы является рациональным. Эмпирически установленный факт устойчивости результата при сгущении сетки является весьма убедительным доводом в пользу правильности выбранного подхода к решению.

Однако при проведении такого анализа расчетчик должен учитывать некоторые серьезные проблемы.

При удовлетворительной практической сходимости по перемещениям могут не так хорошо сходиться внутренние усилия или напряжения. Они определяются дифференцированием перемещений, а операция дифференцирования является некорректной в том смысле, что незначительному изменению функции может отвечать значительное изменение производной. Таким образом, проверки практической сходимости должны быть ориентированы на исследование тех результатов, которые требуются в решаемой задаче.

Приведем сравнительные расчеты [48] шарнирно опертой квадратной пластинки, загруженной по всей площади равномерно распределенной нагрузкой которые выполнялись на четырех сетках конечных элементов — 4x4, 8x8, 16x16 и 24x24 (рис.7.19).

На рис.7.20 приведены результаты расчета по перемещениям, изгибающим моментам и поперечным силам для конечных элементов различного типа, полученные на указанных сетках.

Организация проверки практической сходимости должна учитывать, что решаемая задача может иметь неприятные особенности, связанные с некорректной идеализацией конструкции. Типичным примером является идеализация нагрузки в виде сосредоточенной силы (практически нереализуемая ситуация), с которым могут быть связаны такие свойства решения задачи, как появление уходящих в бесконечность решений и высокие градиенты поля напряжений.

В следующей серии численных экспериментов та же пластинка была загружена сосредоточенной силой. Результаты, представленные на рис.7.21, оказались менее оптимистичными. Здесь замедлилась скорость практической сходимости по

моментам, и еще более существенно по поперечным силам,

значения которых взяты в точке, расположенной на расстоянии четверти толщины от центра пластинки.

б)

Рис.7.71. Сходимость результатов при нагружении сосредоточенной силой: а - по прогибам, б - по моментам, в - по поперечным силам