7.2.4. Разбиение области на конечные элементы

Как отмечалось выше, дискретизация одномерного тела сводится к делению отрезка на более короткие участки. При

статическом расчете стержневых систем обычно каждый стержень постоянного сечения принимается за отдельный конечный элемент (рис.7.12).

©

Решение в этом случае получается точным. Иначе обстоит дело при динамическом расчете стержневых систем и решении задач устойчивости. Здесь обычная расчетная схема может дать очень грубый результат. Для уточнения решения стержень делят на несколько элементов.

При разбиении произвольной двухмерной области на элементы обычно используют треугольники или четырехугольники (рис.7.13). Часто разбиение области на элементы производят в несколько этапов. Сначала область разбивают на достаточно крупные подобласти {подконструкции) - треугольные и четырехугольные, которые затем подразделяются на более мелкие треугольные или четырехугольные элементы. Элементы, близкие по форме к равностороннему треугольнику, приводят к более точным результатам, чем вытянутые по форме треугольные элементы.

При разбиении трехмерного тела трудно наглядно представить расположение элементов в дискретной модели. Поэтому более желательными для трехмерных моделей являются четырехгранные элементы (параллелепипеды).

Границы между подобластями должны проходить там, где изменяются геометрия, приложенная нагрузка или свойства материала. Разбиение области на элементы обычно начинают от ее границы с целью наиболее точной аппроксимации формы границы. Если границы области криволинейные, то криволинейные границы элементов чаще всего заменяются прямыми отрезками. Затем производится разбиение внутренних областей.

Равномерное разбиение, когда все элементы имеют одинаковые форму и размеры, применяется крайне редко, потому что существуют концентрация напряжений, температурные градиенты и т.п., где проводится более мелкая разбивка на конечные элементы.

$ Но при этом следует помнить, что увеличение числа узлов, а не элементов, повышает точность расчета.

Резкого изменения размеров конечных элементов на границах подобластей стараются избегать. Возможность варьировать размеры элементов - важное достоинство МКЭ. При этом приходится сталкиваться с довольно деликатной ситуацией. С одной стороны, элементы должны быть выбраны достаточно малыми, чтобы получались приемлемые результаты, а с другой стороны, применение крупных элементов сокращает вычислительную работу. Нужно иметь некоторые общие соображения об окончательных значениях искомых параметров для того, чтобы можно было уменьшить размеры элементов в тех областях, где ожидаемый результат может очень сильно меняться

(большие величины градиентов), и увеличить их там, где ожидаемый результат почти постоянен. Плохое или несовершенное разбиение будет приводить к ошибочным результатам, если даже остальные этапы метода осуществляются с достаточной точностью. Навыки в дискретизации области обычно приходят с опытом.

Вблизи особых точек, таких, где имеется резкая концентрация напряжений (места стыков, приложения сосредоточенных нагрузок и т.п.), применение конечных элементов (равно как и других методов дискретизации) обычно затруднено, особенно в представлении поля напряжений. Приходится резко

Ширина ленты зависит от числа степеней свободы узлов и способа нумерации последних. Под числом степеней свободы понимают количество неизвестных параметров, определяемых в каждом узле.

■ Например, произвольная п р ост ран ст вен н ая к о н ст р ук ц и я в

каждом узле имеет шесть степеней свободы (три линейных перемещения и три угловых). При расчете плоской ст ер ж н ево й си ст ем ы (рамы, балки) в каждом узле определяют три неизвестных (два линейных перемещения и угол поворота), т.е., число степеней свободы в узле такой конструкции равно трем. П лоская ф ер м а или балка -ст ен к а (пластина, нагруженная в своей плоскости) в каждом узле имеет две степени свободы (например,

гидравлики в каждом узле определяют три параметра (давление и составляющие скорости по осям X и У).

При нумерации узлов предпочтителен способ, обеспечивающий минимальную разность между номерами узлов в каждом отдельном элементе.

Если максимальную разность между номерами узлов для отдельного конечного элемента обозначить R а число степеней свободы в узле — Q , то гиирина ленты L вычисляется по формуле

L = (R + \)Q.

Чем меньше ширина ленты L, тем меньший объем ОП требуется для хранения матрицы при реализации МКЭ на ЭВМ и тем меньше затраты машинного времени на решение разрешающей системы уравнений.

В некоторых случаях уменьшение числа L может быть достигнуто последовательной нумерацией узлов при движении в направлении наименьшего размера рассматриваемой области.

На рис.7.15 приведены два различных способа нумерации узлов произвольной области, разбитой на конечные элементы.

При первом способе (рис. 7.15,а) R=14. Ширина ленты при двух степенях свободы в узле получается равной 30, а при трех степенях свободы - 45.

При втором способе (рис. 7.15,6) R=5. Ширина ленты при двух степенях свободы в узле равна 12, а при двух степенях свободы -18 .

Рис. 7.15. Способы нумерации узлов

Таким образом, рациональная нумерация во втором случае (см. рис.7.15,6) сокращает необходимый объем оперативной памяти почти в три раза по сравнению с первым случаем (рис.7.15а).

Нумерация элементов представляет собой простую процедуру. Она не влияет на вычислительные аспекты задачи, поэтому выполняется произвольно.

При описании области, разбитой на конечные элементы, обычно задаются: тип конечного элемента; его порядковый номер\ номера узлов элемента; координаты узлов; информация о соединении элементов между собой; значения физических параметров объекта в пределах каждого конечного элемента. Эта информация является исходной для всех следующих этапов реализации МКЭ. Такого рода информация называется топологической и обычно содержит примерно в 6 раз больше чисел, чем количество узлов системы.