УДК 519.6(075.8) Б86

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, профессор А.А. Роговой (Институт механики сплошных сред УрО РАН, г. Пермь);

д-р физ.-мат. наук, профессор Д.Л. Андрианов (Пермский государственный национальный исследовательский университет);

д-р техн. наук, доцент О.Ю. Сметанников (Пермский национальный исследовательский политехнический университет);

канд. физ-мат. наук, доцент Д.А. Зубов (Московский физико-технический институт (государственный университет))

Бояршинов, М.Г.

Б86 Численные методы : учеб, пособие / М.Г Бояршинов. - Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехи, ун-та, 2014. - Ч. 5. - 205 с.

ISBN 978-5-398-01283-5

[Рассматриваются основы метода Галёркина для аппроксимации функ­ ций и решения стационарных и нестационарных задач теплопроводности. Излагаются алгоритмы решения прикладных задач с использованием вы­ числительной техники, методы оценки погрешностей получаемых реше­ ний, возможные способы отображения результатов расчетов. По каждой рассматриваемой теме приведены задания для самостоятельной работы^

Предназначено для бакалавров, магистров и аспирантов направления 15.03.03 «Прикладная механика», специалистов, занимающихся построе­ нием компьютерных и математических моделей систем и процессов. Мо­ жет быть использовано при проведении факультативных занятий по вы­ числительному моделированию.

УДК 519.6 (075.8)

Учебное пособие предназначено для бакалавров и магистров на­ правления 15.03.03 «Прикладная механика», выполняющих вычис­ лительные работы при изучении методов вычислительной математи­ ки, на практических занятиях и лабораторных работах дисциплин «Численное моделирование технических задач», «Численный анализ механических процессов», «Прочностные расчёты в математических пакетах программ», «Вычислительная механика», «Проекционные методы решения задач» и других. Пособие может быть полезно при подготовке курсовых и выпускных квалификационных работ, а так­ же аспирантам и специалистам, проводящим вычислительные экспе­ рименты при решении прикладных задач математики, механики, фи­ зики, химии, электротехники, геологии и других направлений.

Основная задача, на решение которой ориентировано настоящее пособие, - формирование у бакалавров и магистров направления 15.03.03 «Прикладная механика» целого ряда общекультурных и профессиональных компетенциий:

- использование основных законов природы в профессиональ­ ной деятельности, применение методов математического и компью­ терного моделирования в теоретических и расчетно-аналитических исследованиях;

-выявление сущности научно-технических проблем, возникаю­ щих в ходе профессиональной деятельности, и привлечение для их решения соответствующего физико-математического аппарата, ана­ литических и расчетных методов исследований, методов вычисли­ тельной математики;

- выполнение расчетно-аналитических работ в области при­ кладной механики с использованием вычислительных методов, высокопроизводительных вычислительных систем и компьютер­ ных технологий;

- разработка оригинальных прикладных программ, проведение расчетов машин и приборов на динамику и прочность, устойчи­ вость, надежность, трение и износ;

- обработка и анализ полученных результатов, подготовка опи­ сания выполненных расчетных работ, отчетов и презентаций, докла­ дов, статей и другой научно-технической документации;

- проектирование деталей и узлов с использованием систем компьютерного проектирования и выполнение многовариантных расчетов.

Первая глава настоящего пособия посвящена методам аппрок­ симации функции на основе метода Галёркина с использованием кусочно-постоянных, кусочно-линейных и кусочно-квадратичных функций, иерархических многочленов. Рассматриваются апостери­

Во второй главе выполняется построение методом Галёркина разрешающих соотношений для задачи стационарной теплопровод­ ности при различных вариантах кусочно-непрерывной аппроксима­ ции искомого решения. Это позволяет свести решение исходной дифференциальной задачи к нахождению решения системы линей­ ных алгебраических уравнений известными методами (прямыми и итерационными). Последовательности численных решений, опре­ деляемые с использованием сгущающихся разностных сеток, позво­ ляют получать эмпирические оценки погрешностей приближённых решений.

В третьей главе пособия метод Галёркина применяется для построения разрешающих соотношений для параболического диф­ ференциального уравнения нестационарной теплопроводности при кусочно-линейной аппроксимации искомого решения и различных вариантах представления производной по времени. Как и в предыду­ щих случаях, значительное внимание уделяется получению оценок сходимости численных решений, получаемых на последовательности разностных сеток.

Для каждого задания приводится подробное описание процеду­ ры построения разрешающих соотношений. Формируется матрица коэффициентов и правая часть системы линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов разложения решения дифференциального уравнения по системам кусочно-непрерывных пробных функций, приводятся числовые значения этой матрицы и правой части, результаты решения сформированной системы урав­ нений, анализ погрешности получаемого решения. Эти числовые данные могут использоваться для контроля правильности построения алгоритма численного решения дифференциальных уравнений, от­

ладки вычислительных программ на алгоритмических языках высо­ кого уровня. Каждый раздел сопровождается текстом вычислитель­ ной программы на алгоритмическом языке Си для реализации по­ ставленной задачи.

Особое внимание следует обратить на подготовку отчетов по ре­ зультатам выполнения вычислительных работ. Образец титульного листа отчета представлен на рис. В.1. В тексте отчета в обязательном порядке должны содержаться следующие разделы:

1.Математическая постановка задачи.

2.Краткое описание численного метода (при необходимости -

сграфической иллюстрацией), условия его применимости и, по воз­ можности, проверка выполнения этих условий для решаемой задачи.

3.Описание алгоритма получения численного решения.

4.Оценка погрешности 5и получаемого численного решения, которая выполняется, как правило, с применением чебышёвской

нормы отклонения приближённого решения y h (xj), полученного

с шагом h интегрирования, от точного решения у(х ; ) на заданном

отрезке [а, А],

При отсутствии точного решения поставленной задачи погреш­ ность получаемого результата оценивается с использованием чебышёв­

ской нормы отклонения приближённого решения у н(х,), полученного

с шагом А, от решения y h^ (х,), полученного с шагом А/2, на заданном

отрезке [а, А]:

либо, что то же самое, от решения, полученного с удвоенным числом шагов интегрирования:

5т, 2т

Пусть, например, получена последовательность y h(*, ) числен­

ных решений дифференциальной задачи с различными сеточными шагами (табл. В.1). Для получения оценки 8ЛЛ/2 используются значе­

ния двух приближений искомой функции (например, y h(х,)

и у h!2(JC/)) в общих узлах х,- разностной сетки: 0; 0,5; 1; 1,5; 2 (выде­

лено жирным шрифтом).

Таблица В.1

Последовательности численных решений у ■дифференциальной

задачи с различными сеточными шагами

Разность y h ( x j) - y ^ 2(х,) дает набор соответствующих значе­

ний: 0; 0,0625; 0,06641; 0,05298; 0,03761. Это позволяет оценить по­ грешность 5лл/2 (в соответствии с принятым выше определением)

значением, равным 0,06641.

Затем для вычисления 5Лд Л/4 выбираются координаты х/ = 0,

0,25, 0,5, 0,75, узлов разностной сетки, общие для решений y h,2{xi) и уЛ/4(х,), определяется максимальная по модулю разность

между значениями найденных решений в этих узлах и т.д.

Полученная указанным способом зависимость от шага интегриро­ вания А погрешности численных решений, приведенных в табл. В.1, показана на рис. В.2 {а - обычные, б - логарифмические координаты). Приведенная зависимость может быть использована для количествен­ ной оценки погрешности получаемого численного решения.

Рис. В .2. Зависимость от шага интегрирования А погрешности

численных решений, приведенных в табл. В .2, в обычных (а)

и логарифмических (б) координатах

Поскольку в логарифмических координатах, использованных для построения рис. В.2, б, зависимость погрешности от шага А при­ ближенно представляется отрезком прямой, эту зависимость можно аппроксимировать выражением

1п5 = 1п^4+ а1пА,

что соответствует 5 = Aha, где а - оцениваемый порядок погрешно­ сти 8 решения. Используя значения 8;,8Г и А,,АГ на левом (/) и пра­ вом (г) концах этого прямолинейного отрезка, оцениваемую величи­ ну можно определить выражением

Для данных, представленных на рис. В.2, требуемые величины

И,= 4,7684-КГ7, 5, =4,3855 1(Г8; hr = 0,25, 5Г =2,7203 10'2. Соот­ ветствующее значение порядка погрешности решения

а = (-3,6044 +16,9424)/(-1,3863+ 14,5561) = 1,0128,

что позволяет приближенно оценить погрешность приближённого решения как величину первого порядка относительно шага h интег­ рирования.

5.Графическое представление численного решения, полученное

спогрешностью, не превышающей заданное значение, например

5<10^

6.Оценка времени, затраченного на получение численного

решения, и характеристики ЭВМ, используемой для расчетов (объ­ ем оперативной памяти, тип процессора и его тактовая частота). Поскольку современные компьютеры обладают высоким быстро­ действием, могут возникать проблемы с оценкой времени работы используемого алгоритма. В этом случае приходится, как правило, замерять время, затраченное на многократное исполнение изучаемо­ го алгоритма, повторяемое, например, 100, 1 000, 10 000 или боль­ шее число раз.

7. Общие выводы по выполненной работе. При этом каждому пункту задания должно соответствовать краткое, но точное описание полученного результата.

Пристальное внимание следует обратить на оформление резуль­ татов вычислительных работ. Массивы чисел, получаемые в резуль­ тате расчетов, не являются конечным результатом вычислительного эксперимента. Это лишь «сырье» для кропотливой, вдумчивой рабо­ ты исследователя, основа для размышлений и выводов. Массивы чи­ словых данных должны быть обработаны и представлены в виде, удобном для последующего анализа, т.е. в виде таблиц, рисунков, диаграмм, графиков и пр.

Каждый рисунок следует снабжать исчерпывающим коммента­ рием, разъясняющим смысл приведённых данных. Координатные оси должны быть в обязательном порядке подписаны и размечены. Если координатные оси отражают значения размерных величин, в подписи к рисунку следует указать используемую размерность. Иногда целе­

сообразно использовать логарифмические координаты для большей наглядности представления результатов (см. рис. В.2).

При использовании ссылок на печатные работы (тезисы докла­ дов, статьи, учебники, монографии) следует руководствоваться об­ щепринятой системой оформления списка используемых литератур­ ных источников. Список цитируемых источников помещается в кон­ це отчета, все литературные источники нумеруются и располагаются по алфавиту, либо по порядку цитирования, либо по годам издания (в качестве примера см. библиографический список, приведенный

вконце учебного пособия).

Втексте отчета для ссылок на цитируемые литературные источ­ ники используются квадратные скобки, в которых номера литера­ турных источников из библиографического списка перечисляются через запятую.

Существенную помощь при подготовке настоящего пособия ока­ зали студенты направления «Прикладная механика» Борзакова Ната­ лья (гр. ВВТм-11), Дудин Сергей и Чиннов Николай (гр. ДПМб-09), принимавшие участие в реализации алгоритмов и выполнении вычис­ лительных экспериментов.