раических уравнений относительно коэффициентов разложения ис комого решения по заданнной системе пробных функций; разрабо тать вычислительную программу для определения коэффициентов разложения решения дифференциального уравнения по заданнной системе пробных функций для 2, 4, 8, 64 сегментов постоянной длины; при известном точном решении определить погрешность приближённых решений для указанной последовательности сегмен тов; исследовать зависимость погрешности искомого решения от длины h сегментов; исследовать сходимость процесса аппроксима ции; оценить быстродействие вычислительной программы. При вы
полнении расчётов принять: |
L = к, Я = |
70 Вт/м •град, |
W0=1000 Вт/м3, а =30 Вт/м2 град, Т° = 10(f, Tm = 2(f |
||
Разрешающие соотношения |
|
|
Стержень, имеющий длину |
L = к, разбивается |
на т сегментов |
xf], i =l,m, равной длины h = xj -x,_l =л/ти. На каждом из сегмен тов определяются кусочно-квадратичные пробные функции:
(2.19)
Пробные функции1на отрезке [0, л] определяются соотношениями:
|
|| 2(*—-*i/у2ЛX*--*i*|)/hа2. * е к»*Д |
||
0 |
1 |
°о,. |
*е[х0,хД |
2 (* - |
* , - 1/2 Х * - |
*,-| ) Д 2, |
хе [х,_,,х, 1 |
<Р,(*)= '2{ х - х 1+]/г\ х - х м ) / И 2 , |
хе [х,.,х1+Д / = 1,/и —1; |
||
Общее число пробных функций п = 2т + 1.
Для дальнейших выкладок граничные условия для каждого сег мента [х ,з а п и с ы в а ю т с я в форме
|
(2.20) |
|
ЬТ'(х)|х. Хм =-д„ |
где |
, q, - тепловые потоки на поверхностях левого и правого торцов |
соответствующего сегмента. На основе пробных функций (2.11) фор
мируется приближённое решение задачи на сегменте |
в виде |
Т„(* ) = Т^Фы М + ^1- 1/2 Ф/-1/2 (* ) +Ttф,(х ), |
(2.21) |
где Ti-\ , Tj-y2и Ti - коэффициенты разложения искомой функции 71[х) по функциям (2.19), аппроксимирующие значения температуры в уз лах Xi-y2и х/ соответственно. Система уравнений (2.10), записан ная для выбранного сегмента (индекс к принимает значения / —1, i - У2и /),
jlЬТ'п{х)ч>м {х)]сЬ- |
\\Г„{х)у'м {х)с1х+ JlF(jc)(p,..1(x>& = 0, |
|
xl-l |
ХЫ |
xi-1 |
■ ^л'Мфм/гМ]^- |
\^Tn{xWi-\i2{x)dx+ }^(х)ф1_1/ 2 = 0, |
||
■*/-| |
|
x i - i |
x i-1 |
ДА.7;(х)<р,.(х)]'а!г- |хг;(х)фДх)(&+ |ж (х)ф Дх>& = 0, |
|||
kx/_1 |
x i - t |
-тм |
|
преобразуется к виду |
|
|
|
г |
- |
} ^ '( * ) ф(x)dxм + Xjw (х>ры {x)dx =0, |
|
|
|||
|
x i-\ |
|
х .-\ |
|
Х1 |
х/ |
|
• ^„'(*)ф ,-1 /2 (*)|^- |
}а.7;'(х)<р;_1/2(х>&+ }^(х)ф ,.1/2(х>&=о, |
||
|
xi-) |
x/-i |
|
|
}хг;(х)<р;(х>&+ \ W {X)ф,.(х>&=о. |
||
|
xi-1 |
|
x/-i |
С учетом свойств пробных функций
Фы (■*/ )= Ф/-1/2 (*,-1 )= Фг—1/2(*, )= Ф,(*М )= 0>
ф,_|(х,_| ) = ф,(х,)=1
и граничных условий (2.20) полученная система уравнений принима ет вид
|
- |
q'-t - |
\b.T'n{x)yj_x{x)dx+ |
|ж (х )ф м {x)dx = 0, |
||||
|
|
|
x , - l |
|
|
x i- 1 |
|
|
|
|
X, |
|
X, |
|
|
|
|
|
• - |
\ХТ'п{хУр'^п {х)ск + |
jfV(x)ф,_|/2(х)<& = О, |
|
||||
|
|
х/-1 |
|
xl- 1 |
|
|
|
|
|
~9,~ |
\^ Тп(хУР/(^)Л + |
}и/(х)ф,(х)а!г = 0, |
|
||||
|
|
Х,_, |
|
X i- 1 |
|
|
|
|
или, с учётом приближения (2.21), |
|
|
|
|
||||
|
X, |
X, |
|
|
X, |
|
X, |
|
7;., |
| ^ , ( х )л + 7;ч,2 { м Ы |
^ м М ^ + |
т; ^ ф;(х )ф;_1(х )л |
= ^ |
^ . . ( х ) * - ^ , |
|||
|
|
*.-i |
|
|
|
|
*.-1 |
|
|
X, |
|
|
X, |
|
X, |
|
X, |
<7/-1 }^ф'_,(х)ф'Ч;2(х )Л + 7;_|/2 |
JX(p'!l/2(x )^ + 7 ; |
|Аф'(х)ф'_|/2(х )Л = |
}ил(х)ср(_1,2(х )Л , |
|||||
|
|
|
|
х,_, |
х,_, |
|
х,_, |
|
|
X, |
|
X, |
|
|
X, |
X, |
|
^-1 |
|Хср'_,(х)ф'(х)Л+7;ч/2 |Аф'_|/2(х)ф'(x)dx+Ti |Хф',2{x)dx= }ж (*)ф i{x)dx-qr |
|||||||
|
x i-\ |
|
x i-i |
|
|
-r i-i |
Х,_, |
|
В итоге получена система линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений температур 7м, 7}_«/2и 77, т.е. коэф фициентов разложения (2.21) решения по пробным функциям. Далее, с учётом того, что
ф'-i ( * ) = 2(2х - хм/2 - х,.) / h2,
Ф/-1/2М |
= - 4 (2х - |
х,_, - х , ) / И1 , |
Ф /М |
= 2(2х - * м |
- х,_|/2)/А 2, |
подсчитываются интегралы:
}Аф ': , ( х )<& = ~ }(2 х - х , . |/2 - х ,)2<Л =
2А. (гх-х,..^ - х ,.)3*' |
2А. |
Г/г3 | |
27/г3") |
7Х |
|
А4 |
3 |
ЗЛ4 |
( 8 + |
8 J |
3/г ’ |
х, |
|
х, |
|
|
|
}А,ф'_1(х)ф'_|/2{x)dx = }аФ'_|/2(х)ф'_, [x)dx =
x i-1 |
* .- l |
00 |
(2 x - x,.., - x , )3 |
A (2 x - x w - x,. )2 |
|
4 _ |
|
VO |
00 |
|
1 |
1 |
1 |
.h |
||
A4 |
|
|
|
|
4А< х>
J ^ P i - l ( х ) ф , (jf)flbc = ^4 J ( 2 x^ i—-1/2 — X/
•>/-1
1 |
1 |
|
^ |
82 . Г |
|
||
|
JS" |
•u |
24 |
|
|
|
|
* — * Ы
+7А^|
24
•*'1-1/2
82. ЗА ’
=
42. (2* |
* |-| X i - \ l l f |
А(2х -У,_! X j~]j2 X |
А4 |
6 |
4 |
42.4А3 _ X А4 48 " ЗА ’
|
] к М ф м * = ^ |
jsin х(х - х,._1/2Хх- х, >&= |
|
|
|||
|
■*>-1 |
|
ХМ |
|
|
|
|
|
= ^ |
}sinx[x2- (х,_1/2+ х, )г + х,_|/2х,]с& = |
|
|
|||
_ |
sin х - (х2- 2)cosх - (х,_у2+ х, Xsinх - хcosх)- х,_1/2х,.cosх |Г = |
||||||
|
=Wn 3sinx, . +sinxf |
Г 4 Л|cosxw +-4cosx, |
|
|
|||
|
|
A |
W |
) |
|
|
|
|
jx.<p;_1/2(х)ф;., {x)dx = J2.(p'_,(x>p;_l/2(x>&= - ^ |
, |
|
||||
|
|
|
|
|
ЗА |
|
|
|
|^<Pw/2(*)* = ^ T |
j(2jc_ *<-1“ xi)2(к = |
|
|
|||
|
8A, (2x - xf_, -x, )3 |
= ^ . ( Аз + |
162. |
|
|
||
|
|
|
|
аз)= 10Л) |
|
|
|
|
|
|
|
ЗА |
ЗА |
|
|
|
J2,<p((x)<p(-i/2(x)fl£t — ^4 j(2x |
xH X/4/2^2x x,_| |
x()c£r |
|
|||
82. |
(2x-xM-x, )3 A(2x-xw - x ,.)2 4 _ |
82.Г^14A3 |
2AM |
82. |
|||
A4 |
6 |
|
8 |
|
A4 , 48 |
48 |
ЗА |
* /-l |
4 |
|
Xj |
|
|
Xj |
|
|
|
|
|
|
|
]tV(x)<pi_n dx = — |
jsinx(x- xM)(x- x ()dx = |
|
|
||||||
|
= - -jrr- Jsinx[x2 - (xw +x,)x +xMx,\lx = |
|
|
|
||||||
|
= - ^ [ 2 is in x - ( x ! -2)cosx-(xw + x, )(sinx - xcosx)- xMx, cosx \ |
= |
||||||||
|
8(cosjcf! - |
cos |
JC,.) |
4(sinxM + sin xt) |
|
|
|
|||
|
= W'n |
]? |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
J^cp'_i(*>p'(*>&= |
J^up'(xto'u [x)dx = ^ , |
|
|
|
|||||
|
\Ы -уг (XW, (x)dx = |
К |
(*)<p'/ 2 -i |
= |
“ |
> |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ЗЛ |
|
|
|
|
}^Ф /2 ( * ) * |
|
= 7 7 |
}(2a‘ “ *w “ |
* /- 1/2 )2<* = |
|
|
|
||
|
2X (2x - x M - x , - ) 3 |
_ |
2X Г27A3 |
ИЪЛ_1Х |
|
|
||||
|
A4 |
|
|
~ ЗА4^ |
8 |
+ 8 J _ |
3A’ |
|
||
|
jfF(x)(p,.cfe = |
|
jsin x(x - xw )(x- x,.l/2)abr= |
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ^ r - }sin x[x2- (xM + x,_l/2)x+ xwx,,1/2\ix = |
|
|
|
||||||
= |
[2x sin JC—(JC2—2)cos x - (xM + |
\sin x - x cos x) - JCM |
cos JC]*' = |
|||||||
|
sinx. , +3sinx, ( 4 |
Л |
|
|
|
4cosx, |
, |
|||
|
= ^n |
|
|
U 2 |
J |
|
h1 |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|||
Подстановка полученных значений приводит к системе линей ных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициен тов Г/_ь Т\-\/2 и Т\ :
|
sx |
|
|
+ X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4,-i |
3hT‘-' |
3hJ‘^ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
■h |
) |
||||
ЗА |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
sx |
+ 1& |
|
|
8XT=W„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ЗА |
ЗА 1,' V2 ЗА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x r |
sx |
|
|
7X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-Яг |
ЗА |
'-V2 + 3A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ЗА M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для двух соседних сегментов [х1Ч,х,] и [JC, , JC1+1] эта система урав |
||||||||||||||
нений записывается в форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
( — Т |
—— Т |
+ — Т + 0Т |
+07’ |
= |
|
||||||||
|
11. l i-1 |
lb |
l i- 12 + u |
' i |
+ uy/+l ’ + UY/+1 |
|
||||||||
|
ЗА |
|
|
ЗА |
|
|
ЗА |
|
|
|
|
|
|
|
|
= fK |
3sinx,j._,+sinx,. |
( 4 |
|
\ |
|
4cosx, |
|
||||||
|
|
|
A |
|
|
U2 |
COSJ:,_,+ — |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
||||
|
ЗА |
7Т +1^:7’ |
ЗА |
' |
+ QT |
+or .= |
|
|||||||
|
|
|
ЗА |
" 12 |
|
|
,+12 |
,+| |
|
|
||||
|
|
|
8(cosXj_j —cosxi) |
4(sinx,_1+sinjc/) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
~ |
|
|
|
h |
|
|
|
— T —— T + — T + 0Г + 0Г = |
|
||||||||||||
|
ЗА |
|
|
ЗА :-12 ЗА |
' |
|
|
,+u |
,+l |
|
|
|||
|
|
|
(sinx,._, + 3sinx,.W 4 |
Л cos.r. --4 COSJT, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
U |
2 |
J |
|
|
|
|
|
07) . + 07;. , ,+ — 7; |
ЗА |
7J+1*+ — 7L= |
|
||||||||||
|
' |
1 |
' 12 ЗА |
' |
,+12 |
ЗА ,+1 |
|
|||||||
|
= И^ |
3sinx. + sin A*. |
|
|
|
|
|
4 cosx,. |
-ft- |
|||||
|
|
|
|
“ |
- |
( |
|
H |
cosx + - |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
81, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
8?im |
16A., |
|
|
|
|||||
|
огы + огМ !- - з : + — |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
8(cosx, - cosx,+,) |
4(sinx, + sinx,+1) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
A5 |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
07’ |
|
+ 07’ |
+ — 7’ |
- — T |
+ — T = |
|
|||||||
|
W'-I +W '-12+ 3A |
' |
|
ЗА |
|
Ж 2 ЗА '41 |
|
|
||||||
|
= ^o |
(sinx, + 3sinx,4l) |
f 4 |
Л |
|
4cos v'/ |
-^ + 1- |
|||||||
|
|
|
A |
|
|
+U 2 |
- 1J C“ U,+1 |
A2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Складывая третье и четвёртое уравнения этой системы и учиты вая условие теплового баланса qt + q,, = 0 , можно исключить неиз вестные величины внутренних тепловых потоков между соседними сегментами и [xi9xi+l], что снизит размерность системы ли нейных алгебраических уравнений:
3sinjc, . + sinXj f |
4 |
|
|
|
4COS X: |
Я/-] > |
||||
— % ------- |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Г i |
T - — T + 0T + 0T = |
|
||||||||
ЗА м |
ЗА |
м2 |
ЗА |
' |
|
1+12 |
,+l |
|
|
|
= w0 8(cosXj_, - cos*,) |
4(sin.t,_| + sin x,) |
|
|
|||||||
X т |
|
A2 |
|
|
|
A |
|
|
|
|
—^ |
т I |
14Л. _ _ 8Л. _ |
|
_ |
_ |
|
||||
ЗА ,ч |
ЗА |
2 |
ЗА |
' |
ЗА |
,+l 2 |
ЗА |
,+l |
|
|
|
(sinJC;_, + 6sinх + sinх,ч ) |
|
4(cos*,._, -cos*/+l) |
|||||||
. |
|
A |
|
|
|
|
|
A3 |
. |
|
Or + 0Г - - T + — T |
2 |
- — T = |
|
|||||||
0rw +07J4, |
3/7 |
+ |
ЗА |
^ , |
ЗА ^ |
|
|
|||
= ^л |
8(cosjr, -cos:r/+1) |
4(sin x, + sin JC/+1) |
|
|
||||||
= wa (sinx, +3 sin x/+1) |
( 4 |
Л |
|
4cosx |
Ям• |
|||||
--------- 1---------+ [ / F - 1J C0' x" |
— |
I T |
|
|||||||
Аналогичная процедура ансамблирования выполняется для всех остальных уравнений этой системы. В результате система линейных алгебраических уравнений для определения температурного поля всего стержня принимает вид
IX |
SX |
T\i |
+ _. 7J |
+ 07j j + ОГ, + • • • +071, — |
||
„ Т 0 |
— |
|||||
3А |
ЗА |
|
ЗА |
|
|
|
=wn sin A |
( 4 |
4cosA |
-e°, |
|||
~h |
i / r |
J + _ A5 - |
||||
8A,—, |
\ 6k — |
8к т |
|
|
лт, |
|
~ЗА 0 |
lA -712 "ЗА 71 |
0 32 |
0?2 + '■'+0Г'” = |
|||
= W0 8(l-cosA) |
4sinA |
|
|
|
||
|
A2 |
A |
|
|
|
|
X |
ei |
|
14X. |
8Х, |
|
А |
ЗА |
~ ^ Т\2+~ПГТ1 - ЧГ732+ т ^7'2 + ---+0Г_ = |
|||||
|
|
ЗА |
ЗА |
|
ЗА |
|
(6sinA+sin2A) 4(l-cos2A)
АР
or0 |
+ or |
—— |
-^^Г |
—— Г |
+ i-ОГ — |
|
ОГ |
+ 07i2 |
zh h |
Г+ъ и тъ 2 3hT2+ |
+0ГИ- |
||
=w 8(cosA-cos2A) |
4(sinA + sin2A) |
|
||||
"o |
P |
X ^ |
8X_ |
A |
|
|
|
|
IX |
|
|
||
0Г° + 07;2 + ЗА71 |
ЗАГз2+ ЗАTl + ' + 07;" " |
|||||
|
(sinA+ 6sin 2A+sin ЗА) |
4(cosA - cos3A) |
||||
|
|
A |
|
|
P |
. |
or0+ 07J2 + 07; + or32+ o r ,+ - +11^ r m= |
||||||
|
|
|
|
|
3/7 |
|
|
sin(7t-/7) |
( 4 |
Л 4COS(TT-A) |
|
||
_ |
h |
{ ¥ |
J |
h 1 |
_ - e s |
|
где Q° и - тепловые потоки на левом и правом торцах стержня соот ветственно. Для учёта граничного условия первого рода 7’(^)|х=0= Т° на
левом торце стержня следует первое уравнение приведённой системы заменить уравнением Т0 = Т°. Для включения в систему уравнений гра
ничного условия третьего рода АТ'(х)|м = - а [r(;t)|j=ji - r j на правом
конце стержня используется соотношение 0 1=а [г(х)| -71,]=
= а[Гт -Г те]. Последнее уравнение приведённой системы
А т |
- ^ т |
|
+ ™ T |
= W |
sin(Tt-A) |
|||
|
0 |
|
||||||
3h m~' |
2 h a~'n |
3h m |
|
|||||
преобразуется к виду |
|
|
|
|
||||
— T |
- — Т |
+— Т = W sin(7C—Л) |
( 4 |
|||||
3И ”-' ЗА т-п ЗА т 0 |
h |
|
||||||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8А,, |
|
|
7АЛ |
_ |
Гsin(^ —/?) |
||
-- Т т 1 ----- |
Т т 1/2 + СХ+ |
ЗА/ |
ш |
°|_ |
A |
|||
ЗА m1 |
ЗА |
m“'/2 |
I |
|
||||
f 4 Л 4cos(7t-A )
|
|
|
|
- Q L |
Л _ 44соCOS^(7U-A) |
- a [ |
7 ; - r j |
||
U |
1 " |
J2 |
|
/г |
Г 4 |
л |
4cos(n - А) |
+ аГ . |
|
U 2 |
J |
А2 |
|
|
Окончательно система линейных алгебраических уравнений для определения температурного поля всего стержня записывается в форме
' |
Iт0 + |
от12 + |
0 7 ; |
+ |
отш + |
от2+ |
••• |
+ |
отт = т° , |
||
~ |
— |
т0 |
+ 1- ^ |
т]2 - |
— |
т{ + |
отУ2+ |
от, |
+ |
••• + orm= |
|
|
ЗА |
0 |
ЗА |
12 |
|
ЗА |
1 |
32 |
|
|
|
|
=ж, |
8(l-cosA) |
4sinA |
|
|
|
|
||||
|
А2 |
|
|
А |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
А |
0 |
г _ |
А |
ЗА 71 |
+ А |
г |
А |
т 07- -+ А г + |
||
|
ЗА |
З А 12 |
ЗА |
32 |
ЗА |
2 |
|
||||
(6sinA+sin2A) 4(l-cos2A)
АА2
|
С1 |
7| + |
16Х, |
8Я.. |
|
О^о + 07],2 |
^ ^ |
2 |
- А Г2 + - + 0 7 ; = |
||
|
|
|
ЗА |
|
ЗА |
= ^0 |
8(cosA-cos2A) |
4(sinA+ sin2A) |
|||
|
|
|
|
|
|
ОТ0 + 07j2 + |
|
8^ |
|
7k г |
|
7J —— Ti:2 + — 72+ +07; — |
|||||
|
ЗА |
ЗА |
' |
ЗА |
|
= »о |
(sinA+ 6sin2A + sin3A) |
4(cos2A-cos3A) |
|||
А |
|
|
А2 |
||
|
|
|
|||
07; + 07^2 + 07; |
+ 07 , + 0Т2+ ••• +| а + — 1Т = |
||||
|
|
|
|
|
ЗА |
= Wn sin(rc-A) |
f 4 |
Л |
4cos(7t - A) -a71. |
||