Программа 3.2

//С коэффициент теплоёмкости

//R плотность

//W0 амплитуда мощности источников

//h длина сегмента

//dt - шаг интегрирования по времени

ttdefine Ne 64

void main(void)

{double globalC [Ne+1] [Ne+1], globalF [Ne+1], x[Ne+l], Time=0.0; double locale [2] [2] , localF [2], x0=0 .f xl=M_PI, h= (xl-xO)/Ne;

//определение координат и номеров узлов каждого сегмента for(k=0; k<Nk; k++) x[k]=xO+h*k;

//определение начального условия

for(k=0; k < N k ; k++) T [k]=T0; for(Time=0; Time<3600.0; Time+=dt)

//инициализация массивов коэффициентов и правых частей

//системы уравнений

{for(i=0; i<Nk; i++)

for(globalF [i]=0.О , j=0; j<Nk; j++) globalC[i] [j]=0.0; for(k=0; k<Ne; k++)

// формирование матриц коэффициентов и правых частей для сегмента

{locale [0] [0]=C*R*h/3.0; locale [0] [1]=C*R*h/6.0; l ocale[1] [0]=C*R*h/6.0; locale[1] [1]=C*R*h/3.0; localL [0] [0]=L/h; localL[0] [1]=-L/h; localL[1] [0]=-L/h; localL [1] [1]=L/h;

localF [0] =W* (cos (x [k] )- (sin (x [k+1] )-sin (x [k] ))/h) ; localF [1] =W* ((sin(x [k+1] )-sin (x [k] ))/h-cos (x [k+1] )) ;

// формирование матриц коэффициентов и правых частей для объекта globalC [к] [к]+=1оса1С [0] [0]+dt*localL[0] [0];

globalC [к] [к+1]+=1оса1С [0] [1]+dt*localL[0] [1] ; globalC [к+1] [к]+=1оса1С[1] [0]+dt*localL[1] [0] ; globalC [к+1] [ к+1]+=1оса1С [1] [1]+dt*localL[1] [1]; globalF[к]+=dt*localF[0]+1оса1С[0][0]*Т[к]

+1оса1С [0] [1] *Т [к+1] ; globalF[к+1]+=dt*localF[1]+1оса1С[1][0]*Т[к]

+1оса1С [1] [1] *Т [к+1] ;

}

// определение граничного условия 1-го рода на левом торце globalC [0] [0]=1.0;

f o r (к=1; k<Nk; к++) g l o balC[0][к]=0.0;

g lobalF[0]=T0*exp(-0.001*Time);

//определение граничного условия 3-го рода на правом торце globalC[Nk-1][Nk-1]+=A*dt;

globalF[Nk-1]+=A*dt*Te;

//решение системы линейных алгебраических уравнений GAUSS(globalC, globalF, N k ) ;

}

Реализация алгоритма

Отрезок [0, я] разбивается на четыре равных сегмента

[0,л] = [0,я/4] и [п/4, л/2] и [л/2,^3л/4] U [3л/4,тс].

На каждом из этих сегментов в соответствии с выражением (3.12) определяются кусочно-линейные пробные функции. Решение дифференциального уравнения представляется разложением (3.14). Для построения приближённого решения необходимо решить систе­ му обкновенных дифференциальных уравнений (3.17) относительно искомых функций T(t)i9 i = 0,4.

В соответствии с коэффициентами матриц [С], [Л] и {W} выра­ жения (3.17), количественными значениями физических констант с, р, X, а, параметров Л и т подсчитываются значения коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений (3.19), что приводит к системе уравнений

i f о+ 07] + of2+ 0T3+ 0Г4= 1 OOeT0’01' ,

(469668-т89,13)Г0 + 2(939336 + T89,13)7] + (469668- т89,13)Г2 + 0Г3+

+0Г4= 469668Г0 +18786727] + 4696687], + т527,393, 0Г0+(469668-т89,13)7]+2(939336 + т89,13)Г2+(469668-т89,13)Г3 + «+0f4= 4696687] +18786727], + 4696687; + т745,846,

Of0+07] +(469668-т89,13)f2+2(939336 + r89,13)f3 +

+(469668-т89,13)f4 =469668Г2 +1878672Г3 +469668Г4 + т527,393, ОТ0+ 07] + 0Г2+ (939336 - т89,13)Г3 + (939336 + т119,13)Г4 = = 4696687; + 9393367; + т699,684.

Согласно условию (3.22) при использовании четырёх сегментов на отрезке [0, к] для устойчивости неявной разностной схемы необ­ ходимо выполнение неравенства т>срИ2/ЗХ =10539, что для отрезка времени [0, 3600] невозможно.

Результаты расчётов

На рис. 3.7, а представлено приближенное решение рассматри­ ваемой дифференциальной задачи для области [0, л:] с 32 сегмента­ ми на заданном отрезке времени [0, 3600] и шагом интегрирования т = 100 с, полученное с помощью Программы 3.2.

При расчётах принято, что нагрев области отсутствует, W0 = 0. Из рис. 3.7, а видно, что вследствие нарушения условия устойчиво­ сти т > cph2/ЗХ = 164,7 полученное решение имеет распределение температуры, не соответствующее закономерностям распределения тепла в рассматриваемом объекте.

На рис. 3.7, б приведено приближенное решение той же задачи с 32 сегментами на отрезке времени [0, 3600] и шагом интегрирова­ ния т = 500 с, удовлетворяющим условию устойчивости. Нагрев об­ ласти в этом варианте также отсутствует, W0 = 0. Из рис. 3.7 видно, что признаки нарушения устойчивости приближённого решения, характерные для явной схемы интегрирования, отсутствуют.

Рис. 3.7. Приближённые решения уравнения (3.5) при использова­ нии неявной разностной схемы для 20 сегментов на отрезке [0, я] и шага интегрирования по времени т = 10 с (а) и т = 500 с (б) для моментов времени / = 0 с (---- ), t = 500 с (---- ), t = 1000 с (-0-), / = 1500 с (-А-), t =2000 с (—X—), / = 2500 с (-о-), t = 3000 с ( - Н

На рис. 3.8 приведено приближённое решение рассматриваемой задачи в области [О, л]х[о, 3600] для 64 сегментов и шага интегриро­

вания по времени т = 50 с, удовлетворяющего условию устойчивости т > cph2/3X = 41,2 с, полученное с использованием неявной разност­ ной схемы и учётом нагрева области, WQ= 1000 Вт/м3

Для функции двух переменных Tm(t,JC), являющейся приближён­

ным решением заданного дифференциального уравнения, погрешность зависит от шагов интегрирования т и А, т.е. 5„, = о (т/\А 62) . В силу ус­

ловия устойчивости (3.22), ограничивающего шаги интегрирования, погрешность приближённого решения может быть представлена в виде

функции только одной переменной А, т.е. 5Ш= о (ал). В табл. 3.2 приве­ дены значения погрешностей

$т,2,„ = |\Тгт ~ ЪЦ = ^тах \т2т(/,*) - Тт(/,дг)| =

ге[0,61440]

2т т

-/”а,х

-

определённые сравнением двух последовательных приближённых решений Тти Тгтдифференциального уравнения (3.5) при различных значениях числа т и 2 т сегментов на одном и том же отрезке време­ ни t € lO. 61440] с использованием чебышёвской нормы. Те же данные представлены графически на рис. 3.9.

Применение формулы (В.1) позволяет приближенно определить порядок погрешности численного решения дифференциального урав­ нения (3.5) разложением (3.14) по системе кусочно-линейных проб­ ных функций. Для 8т (рассматривается прямолинейный участок на рис. 3.8) порядок погрешности оценивается значением

6m2m = (In 72,8506 - In1,13692)/(In0,785398 - In0,049087) = 1,50043.

Погрешность полученного приближённого решения дифферен­ циального уравнения методом Галёркина с использованием неявной разностной схемы интегрирования по времени и системы кусочно­

линейных пробных функций приближённо оценивается как величи­ на, пропорциональная длине сегмента h в степени 3/2 , т.е.

Рис. 3.9. Зависимость от длин h сегментов погрешности 6ъп приближённого решения уравнения (3.5), полученного

с использованием неявной разностной схемы

Рис. 3.10. Зависимость времени t выполнения расчетов для неявной схемы от числа т сегментов разностной сетки

В силу этого 5т 0 при h —» 0 или /и —>оо. Это позволяет утвер­ ждать, что последовательность приближённых решений дифферен­ циального уравнения, полученных аппроксимацией (3.14) кусочно­ постоянными функциями, сходится равномерно на отрезке [0, л].

На рис. ЗЛО приведена зависимость времени / выполнения рас­ четов от числа т сегментов разностной сетки при использовании не­ явной схемы интегрирования по времени.

Выводы

1. Процедура метода Галёркина использована для приближённо­ го решения нестационарного дифференциального уравнения тепло­ проводности. С помощью неявной разностной схемы построена система линейных алгебраических уравнений для определения ко­ эффициентов разложения искомого решения по системе пробных ку­ сочно-линейных функций.

2.Разработана вычислительная программа определения коэффи­ циентов разложения решения дифференциального решения по сис­ теме кусочно-линейных функций.

3.С использованием разработанных программ определены ко­ эффициенты и построены приближённые решения дифференциаль­ ного уравнения для 2, 4, 8, 16, 32 и 64 сегментов постоянной длины (см. рис. 3.8).

4.Для указанных последовательностей разложений определены

оценки 82™погрешности приближённых решений (см. табл. 3.2) для различного числа т сегментов.

5. Показано, что с уменьшением длины h сегментов погрешно­ сти приближённых решений нестационарного дифференциального уравнения, полученных на основе неявной разностной схемы, опре­ деляемые чебышёвской нормой, уменьшаются (см. рис. 3.9), при этом погрешность аппроксимации имеет порядок 3/2 относительно длины сегментов (шага интегрирования).

6. Выполненное исследование показывает, что последовательно­ сти приближённых решений дифференциального уравнения, полу­ ченных методом Галёркина на основе неявной разностной схемы при аппроксимации кусочно-линейными функциями, сходится равно­ мерно на отрезке [0, я].

7. Для численного решения на компьютере с процессором Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) дифференциального уравнения методом Галёркина на основе кусочно-линейных функций на разностной сетке, содер­ жащей т = 64 сегмента, и шагом по времени т = 15 с при использо­ вании неявной разностной схемы требуется 0,3998 с (см. рис. 3.10).

3.3. Разностная схема Кранка - Николсон

Задание. Методом Галёркина с использованием кусочно-ли­ нейных пробных функций и схемы Кранка - Николсон построить на отрезке /е [ 0 ,3600] приближённое решение одномерного диффе­

Сформировать систему линейных алгебраи-

ческих уравнений относительно коэффициентов разложения иско­ мого решения по заданнной системе пробных функций; разрабо­ тать вычислительную программу для определения коэффициентов разложения решения дифференциального уравнения по заданнной системе пробных функций для 2, 4, 8, 64 сегментов постоянной длины; при известном точном решении определить погрешность приближённых решений для указанной последовательности сег­ ментов; исследовать зависимость погрешности искомого решения от длины h сегментов; исследовать сходимость процесса аппрок­ симации; оценить быстродействие вычислительной программы. При выполнении расчётов принять: с = 460 Дж/кг •град, р = 7800 кг/м3, Л = 70 Вт/м • град, Wo = 1000 Вт/м3, а = 30 Вт/м • град, Т(х) = Т°, Т° = 100°, Too = 20°

Разрешающие соотношения

Построение разрешающих соотношений метода Галёркина для одномерного дифференциального уравнения нестационарной тепло­ проводности с использованием кусочно-линейных пробных функций приведено в подразд. 3.1.1. Для интегрирования полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3.17) используется раз­ ностный аналог

где т - шаг интегрирования по времени, { г} = {г(/ + т)}, {Г}={г(/)}.

Удобно полученную разностную схему записать в виде

Складывая второе и третье уравнения этой системы и учиты­ вая условие теплового баланса #; +<7/ = 0 , из этой системы урав­

нений можно исключить неизвестные величины внутренних тепловых потоков между соседними сегментами и [хпхм ],

что снижает размерность системы линейных алгебраических урав­ нений:

+TW0( COSXW - SmXi~ SmX'-')-TqU,

Ф ^ ) t l + 2 ^ h +

T M ? ' f TM =

(3.23)

-xWr sin x:/+1- 2sin xt + sin JtM

0Tt_

Аналогичные преобразования выполняются для всех остальных уравнений этой системы. В результате система линейных алгебраи­ ческих уравнений для определения нестационарного температурного поля всего стержня принимает вид

^ sin(;r-/z)

- * Q L

h

Для учёта граничного условия первого рода 71(^*)[с_0=Т°е~°'ои

на левом торце стержня следует первое уравнение приведённой сис­

темы заменить уравнением Т0 =т°е~°,ои

Для включения в систему уравнений граничного условия третьего

ИЛИ

Окончательно система линейных алгебраических уравнений для определения температурного поля всего стержня записывается в форме

+ 0Tm=

V3

-( ^ ♦ т М ¥ - т М ? +т>-‘-

Исключённые из системы первое и последнее уравнения в даль­ нейшем, после вычисления узловых коэффициентов 7/, могут быть использованы для определения тепловых потоков Q0 и &

Для оценки устойчивости полученных разрешающих соотноше­ ний используется принцип максимума. Рассматривается второе урав­ нение системы (3.23):