Алгоритм решения

Ниже приведён фрагмент программы на языке Си, реализующей процедуру построения приближённого решения дифференциального уравнения стационарной теплопроводности на основе кусочно-линей­ ных пробных функций с использованием схемы Кранка - Николсон интегрирования по времени.

Программа 3.3

// Задача стационарной теплопроводности. Схема Кранка - Николсон

void main(void)

{double globalC[Ne+1] [Ne+1], globalF[Ne+1], x[Ne+l], Time=0.0; double locale[2] [2], localF[2], x0=0., xl=M_PI, h=(xl-xO)/Ne;

//определение координат и номеров узлов каждого сегмента for(k=0; k<Nk; k++) x[k]=x0+h*k;

//определение начального условия

for(k=0; k<Nk; k++) T[k]=T0; for(Time=0; Time<3600.0; Time+=dt)

//инициализация массивов коэффициентов и правых частей

//системы уравнений

{ for(i=0; i<Nk; i++)

for(globalF[i]=0.0, j=0; j<Nk; j++) globalC[i] [j]=0.0; for(k=0; k<Ne; k++)

// формирование матриц коэффициентов и правых частей для сегмента

{locale[0] [0]=C*R*h/3.0; locale[0] [1]=C*R*h/6.0; locale [1] [0]=C*R*h/6.0;

locale [1] [1]=C*R*h/3.0; localL [0] [0] =L/h; localL [0] [1]=-L/h; localL [1] [0]=-L/h; localL [1] [1]=L/h;

localF [0] =W* (cos (x [k] )- (sin (x [k+1] )-sin (x [k] ))/h) ; localF [1] =W* ((sin (x [k+1] )-sin (x [k] ))/h-cos (x [k+1] )) ;

// формирование матриц коэффициентов и правых частей для объекта globalC[k] [к]+=1оса1С [0] [0]+dt*localL [0] [0] ;

globalC[k] [k+1] +=1оса1С [0] [1]+dt*localL[0] [1] ; globalC[k+l] [к]+=localC [1] [0]+dt*localL[1] [0] ; globalC[k+l] [k+1]+=localC [1] [1]+dt*localL [1] [1] ; globalF[k]+=dt*localF[0]+localC[0] [0]*T[k]

+ localC [0] [1] *T [k+1] ; globalF[k+1]+=dt*localF[1]+localC[1] [0]*T[k]

+localC [1] [1] *T [k+1] ;

}

//определение граничного условия 1-го рода на левом торце globalC [0] [0]=1.0;

f o r (к=1; k<Nk; к++) globalC[0] [к]=0.0; glob alF[0]=Т0*ехр(-0.001*Time);

// определение граничного условия 3-го рода на правом торце globalC[Nk-1][Nk-1]+=A*dt;

globalF[Nk-1]+=A*dt*Te;

//решение системы линейных алгебраических уравнений GAUSS(globalC, globalF, N k ) ;

Реализация алгоритма

Отрезок [0,7С] разбивается на 4 равных сегмента:

[0, я] = [0, я/4] U[л/4, я/2] U[я/2,3л/4] U[3л/4,л].

На каждом из этих сегментов в соответствии с выражением (3.12) определяются кусочно-линейные пробные функции. Решение дифференциального уравнения представляется разложением (3.14). Для построения приближённого решения необходимо решить систе­ му обкновенных дифференциальных уравнений (3.17) относительно искомых функций Г(/),., / = 0,4.

В соответствии с коэффициентами матриц [с], [л] и {fV} выра­ жения (3.17), количественными значениями физических констант с, р, X, а, параметров Л и т подсчитываются значения коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений (3.19), что приводит к системе уравнений

\T0+ 07J + ОТ2+ 0T3+ 0Г4 = 100e~°fiU,

(939336-x89,13)f0 +2(l878672 + x89,13)7] + (939336-x89,13)f2 +

+0Г3+ 0Г4= (939336-х89,13)Г0 + 2(1878672+ x89,13)7] +

+(939336-x89,13)7],+x527,393,

ОГ0+(939336-х89,13)7]+2(1878672 + х89,13)Г2 +(939336-х89,13)Г3 +

+0Г4= (939336-x89,13)7] + 2(1878672 + х89,13)Г2 + (939336-х89,13)Г3 +

+т745,846,

ОГ0+07] +(939336-т89,13)f2 + 2(1878672+ т89,13)Г3 +

+(939336-x89,13)f4 = (939336-x89,13)7],+2(1878672+ x89,13)7]> +

+(939336 - т89,13) T4+ x527,393,

ОГ0+07] +0Г2+ (939336-х89,13)Г3 + 2(l878672 + xl 19,13)Г4 =

= (939336 - x89,13) T3+ (1878672 + x89,13) TA+ x699,684.

Согласно условию (3.28) при использовании четырёх сегментов на отрезке [0, тс] для устойчивости схемы Кранка - Николсон необ­ ходимо выполнение неравенства 10539 < х < 21079 с, что для отрезка времени [0, 3600] неприемлемо.

На рис. 3.11, а представлено приближенное решение рассматри­ ваемой дифференциальной задачи для области [0,я] с 32 сегментами на заданном отрезке времени [0,3600] и шагом интегрирования т = 100 с, полученное с помощью Программы 3.3. Из рис. 3.11, а вид­ но, что, как и в предыдущих случаях, вследствие нарушения условия устойчивости 164,7 < х < 329,4 полученное решение имеет распреде­ ление температуры, не соответствующее закономерностям распреде­ ления тепла в физическом объекте.

На рис. 3.11, б приведено приближенное решение той же задачи с 32 сегментами на отрезке времени [0, 3600] и шагом интегрирова­ ния х = 250 с, удовлетворяющим указанному условию устойчивости.

На рис. 3.11, в представлено приближенное решение рассмат­ риваемого дифференциального уравнения (3.5) для области [0, я] с 32 сегментами на заданном отрезке времени [0, 3600] и шагом ин­ тегрирования х = 500 с, не удовлетворяющим условию устойчиво­ сти. Как и в предыдущих случаях, при выполнении расчётов принято,

т

а

т

100,6

100.4

100,2

о р о л / ^ . ; м ' 1__ 1 1 _ -н

100 —

99.8 - 4 Х м а —

Рис. 3.11. Приближённые решения уравнения (3.5) на отрезке [0, л] при использовании схемы Кранка - Николсон для 32 сегментов

ишагов интегрирования по времени т = 100 с (а), т = 250 с (б)

ит = 500 с (в) для моментов времени / = 0 с (— ), / = 500 с (---- ),

t = 1000 с (-0-), / = 1500 с (-А-), t = 2000 с (-Х-), / = 2500 с (-о-), / = 3000 с (-+-)

Для выполнения вычислительных экспериментов принято зна­ чение шага т = 15 с, которое одновременно удовлетворяет услови­ ям устойчивости для 128 сегментов как для разностной схемы Кранка - Николсон (20,58> т> 10,29), так и для неявной разност­ ной схемы.

Для обеспечения устойчивости решений и сопоставимости ре­ зультатов расчетов приняты соотношения между длинами сегментов А и шагами интегрирования по времени т, указанные в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Погрешность Ът^тприближённого решения дифференциального уравнения при различном числе т сегментов

Для функции двух переменных Тт(/,*), являющейся приближён­

ным решением заданного дифференциального уравнения, погрешность

зависит от шагов интегрирования т и А, т.е. 8т = ,А62). В силу ус­

ловия устойчивости (3.28), ограничивающего шаги интегрирования, погрешность приближённого решения может быть представлена в виде

функции только одной переменной А, т.е. 5m= 0 {h b).

В табл. 3.3 и на рис. 3.13 приведены значения погрешностей

определённых сравнением двух последовательных приближённых решений Тти Tim дифференциального уравнения (3.5) при различных значениях числа т и 2т сегментов на одном и том же отрезке време­ ни te [0,61440| с использованием чебышёвской нормы.

Рис. 3.13. Зависимость от длин h сегментов погрешности bim приближённого решения уравнения (3.5), полученного

сиспользованием разностной схемы Кранка - Николсон

Сприменением формулы (В.1) приближенно определяется поря­ док погрешности численного решения дифференциального уравне­ ния (3.5) разложением (3.14) по системе кусочно-линейных пробных функций. Для 5т (рассматривается прямолинейный участок на рис. 3.9) порядок погрешности оценивается значением

Ьт,2т = (In72,85065 - In 0,950411)/(In0,785398 - In0,049087) = 1,56506.

Погрешность полученного приближённого решения дифференци­ ального уравнения методом Галёркина с использованием разностной схемы Кранка - Николсон интегрирования по времени и системы ку­ сочно-линейных пробных функций приближённо оценивается как ве­ личина, пропорциональная длине сегмента h в степени 3/2, т.е.

В силу того что 8т—>0 при h —» 0 (иначе, т - » °°), последова­

тельность приближённых решений дифференциального уравнения, полученных аппроксимацией (3.14) кусочно-постоянными функция­ ми, сходится равномерно на отрезке [0, я].

' ’ с 1

Рис. 3.14. Зависимость времени / выполнения расчетов для схемы Крэнка-Николсон от числа т сегментов разностной сетки

На рис. 3.14 приведена зависимость времени t выполнения рас­ четов от числа т сегментов разностной сетки при использовании схемы Кранка - Николсон для интегрировании по времени.

Выводы

1.Процедура метода Галёркина использована для приближён­ ного решения нестационарного дифференциального уравнения теп­ лопроводности. С помощью разностной схемы Кранка - Николсон построена система линейных алгебраических уравнений для опре­ деления коэффициентов разложения искомого решения по системе пробных кусочно-линейных функций.

2.Разработаны вычислительные программы определения коэф­ фициентов разложения решения дифференциального решения по системе кусочно-линейных функций.

3.С использованием разработанных программ определены ко­ эффициенты и построены приближённые решения дифференциаль­ ного уравнения для 2, 4, 8, 16, 32 и 64 сегментов постоянной длины (см. рис. 3.11).

4.Для указанных последовательностей разложений определены оценки §2т погрешности приближённых решений (см. табл. 3.3) для различного числа т сегментов.

5.Показано, что с уменьшением длины h сегментов погрешно­ сти приближённых решений нестационарного дифференциального уравнения, полученных на основе схемы Кранка - Николсон, опре­ деляемые чебышёвской нормой, уменьшаются (см. рис. 3.13), при

этом погрешность имеет порядок 3/2 относительно длины сегментов (шага интегрирования).

6. Выполненное исследование показывает, что последовательно­ сти приближённых решений дифференциального уравнения, полу­ ченных методом Галёркина на основе схемы Кранка - Николсон при аппроксимации кусочно-линейными функциями, сходятся равномер­ но на отрезке [0, тс].

7. Для численного решения на компьютере с процессором Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) дифференциального уравнения методом Галёркина на основе кусочно-линейных функций на разностной сетке, содержащей тп = 64 сегмента, и шагом по времени т = 15 с при использовании раз­ ностной схемы Кранка - Николсон требуется 0,3846 с (см. рис. 3.14).

4. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ

4.1. Аппроксимация функции

Для функции на заданном отрезке (табл. 4.1):

-построить аппроксимацию с использованием системы кусочно­ непрерывных (по указанию преподавателя: кусочно-постоянных, ли­ нейных, квадратичных, кубических, иерархических) пробных функ­ ций на основе метода Галёркина;

-сформировать систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения этой функции по заданнной системе функций;

-разработать вычислительную программу для определения коэффициентов разложения для 2, 4, 8, ..., 64 сегментов постоян­ ной длины;

-д л я указанной последовательности приближений определить погрешности аппроксимации;

-исследовать зависимость погрешности аппроксимации от дли­ ны А сегментов;

-исследовать сходимость процесса аппроксимации;

-оценить быстродействие вычислительной программы.

4.2. Одномерное стационарное дифференциальное уравнение теплопроводности

Методом Галёркина с использованием системы кусочно-непре­ рывных (по указанию преподавателя: кусочно-линейных, квадратич­ ных, иерархических) пробных функций:

- построить приближённое решение одномерного стационарного дифференциального уравнения теплопроводности

[a.r(jc)J+w( x) = o.

с заданной функцией 1¥(х) и граничными условиями (табл. 4.2); -сформировать систему линейных алгебраических уравнений

относительно коэффициентов разложения искомого решения по заданнной системе пробных функций;

-разработать вычислительную программу для определения ко­ эффициентов разложения решения дифференциального уравнения по заданнной системе пробных функций для 2, 4, 8, ..., 64 сегментов одинаковой длины;

-определить погрешность приближённых решений для указан­ ной последовательности сегментов;

-исследовать зависимость погрешности искомого решения от длины h сегментов;

-исследовать сходимость процесса аппроксимации;

-оценить быстродействие вычислительной программы.

При проведении расчётов принять: X = 70 Вт/мград, а = 30 Вт/м2 град; Too - температура окружающей среды, град.

Построение методом Галёркина приближённого решения одномерного стационарного дифференциального уравнения

4.3. Одномерное нестационарное дифференциальное уравнение теплопроводности

Методом Галёркина с использованием системы кусочно-ли­ нейных пробных функций и разностной схемы интегрирования по времени (по указанию преподавателя: неявной, Кранка - Ни­ колсон):

- построить приближённое решение одномерного нестационар­ ного дифференциального уравнения теплопроводности

c9T (t,x) = [ \T '{ t,x )] + W {x)

с заданной функцией W(x), начальными и граничными условиями (табл. 4.3);

-сформировать систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения искомого решения по заданнной системе пробных функций;

-разработать вычислительную программу для определения ко­ эффициентов разложения решения дифференциального уравнения по заданнной системе пробных функций для 2, 4, 8, ..., 64 сегментов одинаковой длины;

-определить погрешность приближённых решений для указан­ ной последовательности сегментов;

-исследовать зависимость погрешности искомого решения от длины h сегментов;

-исследовать сходимость процесса аппроксимации;

-оценить быстродействие вычислительной программы.

Начальные условия принять в виде: Т{09х) = а +Ьх\ для опреде­

ления коэффициентов а и b использовать требование о сопряжении начальных и граничных условий.

При проведении расчётов принять: с = 460 Дж/кгград, р = = 7800 кг/м3, А, = 70 Вт/м град, а = 30 Вт/м2 град; Тж- температура окружающей среды, град.

Таблица 4.3 Построение методом Галёркина приближённого решения

одномерного нестационарного дифференциального уравнения

Граничные условия

№fV(x),

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бояршинов М.Г. Методы вычислительной математики: учеб, пособие / Перм. гос. техн. ун-т. - Пермь, 1998. - 421 с.

2.Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных эле­ ментов. - М.: Мир, 1987. - 524 с.

3.Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элемен­ тов в технике. - М.: Мир, 1982. - 248 с.

4.Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксима­ ция. -М .: Мир, 1986.-318 с.

5.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные ме­ тоды. - М.: БиНОМ: Лаборатория знаний, 2011. - 636 с.

6.Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1976. - 576 с.

7.Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в меха­ нике жидкости. - Л.: Судостроение, 1979. - 264 с.

8.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных ра­ ботников и инженеров. - М.: Наука, 1977. - 832 с.

9.Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: учеб, посо­ бие для вузов. - М.: Наука, 1989. - 432 с.

10.Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979.-392 с.

11.Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. - М.: Мир, 1988.-352 с.

12.Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы ре­ шения обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1979.-312 с.

Учебное издание

Бояршинов Михаил Геннадьевич

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Часть 5

Учебное пособие

Редактор и корректор ЕЖ. Герман

Подписано в печать 5.03.2014. Формат 60x90/16. Уел. печ. л. 13,0. Тираж 100 экз. Заказ № 29/2014.

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета.

Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29, к. 113. Тел. (342)219-80-33.