Исключённые из системы уравнения в дальнейшем, после вы­ числения узловых коэффициентов 7}, могут быть использованы для определения тепловых потоков 0 ° и

Алгоритм решения

Ниже приведён фрагмент программы на языке Си, реализующей процедуру построения приближённого решения дифференциального уравнения с использованием кусочно-линейных пробных функций.

Программа 2.2

//h длина сегмента

//W0 амплитуда мощности источников

//L коэффициент теплопроводности

#define Ne 64

void main(void)

{double globalC[2*Ne+l] [ 2*Ne+l], globalF[2*Ne+l], x[Ne+l]; double locale[2] [2], localF[2], x0=0., xl=M__PI, h=(xl-xO)/Ne; double L = 7 0 .0, W=1000.0, T0=100.0, Te=20.0/ A=30.0;

int i, j, k, Nk=Ne+l;

//определение координат и номеров узлов каждого сегмента for(k=0; k<Nk; k++) x[k]=xO+h*k;

//инициализация массивов коэффициентов и правых частей

//системы уравнений

for(i=0; i<2*Ne+l; i++)

for(globalF[i]=0.0/ j=0; j<2*Ne+l; j++) globalC[i] [j]=0.0; for(k=0; k<2*Ne+l; k++)

// формирование матриц коэффициентов и правых частей для сегмента

{locale [0] [0]=7.0 *L/(3.0*h);

locale [0] [1] =localC[1] [0]= - 8 .0*L/(3.0*h) ; locale [0] [2] =localC [2] [0] =L/ (3.0*h) ; locale [1] [1]=16.0 * L / (3.0*h);

locale [1] [2]=localC [2] [1]= - 8 .0*L/(3.0*h) ;

locale[2] [2]=7.0*L/(3.0*h);

localF [0] =W0* ((3.0*sin (x [kj )+sin (x [k+1] ))/h- (4.0/ (h*h) -

1.0)*cos(x[k])+4.Q*cos(x [k+l])/ (h*h) );____________

l o c a l F [1]= W 0 * (8.0*(cos(x[k])-cos(x[k+1]))/ (h*h)- 4 . 0 * (sin(x[k])+sin(x[k+1]))/ h ) ;

localF [2]= W 0 * ((sin(x[k])+3.0*sin(x [k+1]))/ h + (4.0 / (h*h)- 1.0)*cos(x [k+1])-4.0*cos(x[k])/ (h*h));

// формирование матриц коэффициентов и правых частей для объекта globalC[2*k] [2*k]+=1оса1С [0] [0];

globalC [2*k] [2*k+l]+=localC [0] [1]; globalC[2*k] [2*k+2]+=localC [0] [2]; globalC[2*k+l][2*k]+=localC[1][0]; globalC[2*k+l][2*k+l]+=localC[1][1]; globalC[2*k+l][2*k+2]+=localC[1][2]; globalC[2*k+2] [2*k]+=localC [2] [0]; globalC [2*k+2] [2*k+l]+=localC [2] [1]; globalC[2*k+2] [2*k+2]+=localC [2] [2]; globalF[2*k]+=localF[0]; globalF[2*k+l]+=localF [1]; globalF[2+k+2]+=localF [2];

}

// определение граничного условия 1-го рода на левом торце globalC [0] [0] =1.0;

for(k=l; k<2*Ne+l; k++) g l o balC[0] [k]=0.0; globalF [0]=T0;

// определение граничного условия 3-го рода на правом торце globalC [2*Ne] [2*Ne]+=А;

globalF[2*Ne]+=A*Te;

//решение системы линейных алгебраических уравнений GAUSS(globalC, globalF, 2*Ne+l);

i _______________________________________________________________

Реализация алгоритма

Первоначально отрезок [0, п\ разбивается на четыре сегмента равной длины

[О, л] = [0,л/4] U[л/4,л/2] U [я/ 2,3л/4] U [3л/4,л].

На каждом из этих сегментов в соответствии с выражением (2.11) определяются кусочно-квадратичные пробные функции. Ре­ шение дифференциального уравнения представляется разложением (2.9). Для построения приближённого решения необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффи­ циентов 7).

В соответствии с приведёнными выражениями и количествен­ ными значениями физических констант подсчитываются значения интегралов (с учетом определения (2.19) пробных функций):

- коэффициенты и правая часть системы уравнений для сег­ мента [0, л/4]:

к/Л —^

Mp'oWP <& = ~ = 207,962,

оЗА

*/} •/* о т

р Ж (*Ж/2(*)* = JWifi (*Ж (*)<Ь= - — = -237,671,

ПП

' 207,962Го - 237,6717;/2 + 29,70897; = 1,03391,

- - 237,671Г0+ 475,3437;/2- 237,6717; = 197,299,

29,70897’o - 237,67\Ty2+ 207,9627; = 94,5598;

- коэффициенты и правая часть системы уравнений для сегмента [л/4,я/2]:

Ансамблирование систем, полученных для каждого сегмента, приводит к формированию общей для всего стержня системы линей­ ных алгебраических уравнений (табл. 2.4) относительно коэффициен­ тов Ti приближённого решения (2.9) дифференциального уравнения.

Учёт граничного условия первого рода Т(х]х=о = Т° на левом

торце стержня и граничного условия третьего рода ХТ'(х)|м =

= _а [r(jc)|jr_Jt- 7 ,ee] на правом конце стержня приводят к системе ли­

нейных алгебраических уравнений, приведённой в табл. 2.3.

Результаты расчетов

Использование Программы 2.2 даёт решение этой системы уравнений:

Т0=100,0 7^=102,119, 7] =103,407, Г3/2= 103,154, Т2=100,897,

Г5/2=96,4594, Тъ=90,018, 7^=82,0351, Т4=73,2219.

Приближённые решения дифференциального уравнения на отрез­ ке [0, тс], полученные на основе кусочно-квадратичного представления (2.9), приведены на рис. 2.4 с использованием 4 (а) и 64 (б) сегментов. Полученное приближённое решение даёт возможность определить по­ токи тепла с торцевых поверхностей стержня. Первое и последнее уравнения

а

Рис. 2.4. Приближённое решение уравнения A,r'(jt)+ W(x)= 0 с граничными условиями r(jc)|j=0= Т°

и ХТ’( х ) [ т ( х ) х=1t - Г,] при использовании 4 (а) и 64 (б)

сегментов на отрезке [0, л]

Точное решение (1.18) поставленной задачи позволяет опреде­ лить точные значения потоков на торцах стержня

и оценить погрешность полученных приближённых значений тех же потоков.

Приближённые значения тепловых потоков, полученных при раз­ личном числе сегментов, приведены в табл. 2.5. Значения потоков, по­ лученные с использованием точного решения: Q0 =403,34 Вт/м2

и QL =1596,66 Вт/м2

Таблица 2.5

Приближённые значения тепловых потоков на торцах стержня при различном числе т сегментов

определённых с помощью точного решения Т(х) дифференциаль­ ного уравнения и сравнением двух последовательных приближён­ ных решений Тт и Т2т дифференциального уравнения при различ­ ных значениях числа т и 2т сегментов с использованием чебышёвской нормы. Эти же данные представлены в графическом виде на рис. 2.5, б.

Таблица 2.6

Погрешность Ътприближённого решения дифференциального уравнения при различном числе т сегментов

ального уравнения, полученных аппроксимацией кусочно-постоянны­ ми функциями (2.9), сходится равномерно на отрезке [0, к].

Выполненные расчёты (см. табл. 2.5, рис. 2.5, б) показывают, что погрешности 8т и 6^ практически одинаково оценивают погреш­ ность приближённого уравнения. Это означает, что при отсутствии точного решения, когда погрешность 8топределить невозможно, для контроля погрешности можно применять оценку Ььп-

На рис. 2.6 приведена зависимость времени t выполнения расче­ тов от числа т сегментов разностной сетки.

Рис. 2.6. Зависимость времени / выполнения расчетов от числа т сегментов разностной сетки

Выводы

1. Процедура метода Галёркина использована для приближённо­ го решения дифференциального уравнения. Сформирована система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициен­ тов разложения искомого решения по системе кусочно-квадратичных функций.

2.Разработана вычислительная программа определения коэффи­ циентов разложения решения дифференциального решения по сис­ теме кусочно-квадратичных функций.

3.С использованием разработанной программы определены ко­ эффициенты и построены приближённые решения дифференциаль­ ного уравнения для 2, 4, 8, 16, 32 и 64 сегментов постоянной длины (см. рис. 2.4).

4.Для указанной последовательности разложений определены оценки Ьт и Ььп погрешности приближённого решения (см. табл. 2.5) для различного числа т сегментов.

5.Показано, что с уменьшением длины h сегментов погрешность приближённого решения дифференциального уравнения, определяе­ мая чебьпиёвской нормой, уменьшается (см. рис. 2.5, б). Установлено, что погрешность аппроксимации имеет третий порядок относительно длины h сегментов (шага интегрирования).

6.Выполненное исследование показывает, что последователь­ ность приближённых решений дифференциального уравнения, полу­ ченных методом Галёркина при аппроксимации кусочно-квадра­

тичными функциями, сходится равномерно на отрезке [0, 7с].

7. Для численного решения дифференциального уравнения ме­ тодом Галёркина с использованием кусочно-квадратичных функций на разностной сетке, содержащей 64 сегмента, на компьютере с про­ цессором Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем опера­ тивной памяти 512 Мбайт) требуется 2,5-10-3 с.

2.3.Аппроксимация решения иерархической системой кусочно-непрерывных полиномов 1-й степени

Задание. Методом Галёркина с использованием иерархической системы пробных функций построить приближённое решение од­ номерного дифференциального уравнения стационарной теплопро­ водности [ХТ'(х)\ + JT0sinjt = 0 с граничными условиями r(jt)|j=0= f

А,Г'(х)|^ = - a |V ( x ) |^ - J ^ j . Сформировать систему линейных ал­

гебраических уравнений относительно коэффициентов разложе­ ния искомого решения по заданнной системе пробных функций; разработать вычислительную программу для определения коэф­ фициентов разложения решения дифференциального уравнения по заданнной системе пробных функций для 2, 4, 8, 64 сегментов постоянной длины; при известном точном решении определить погрешность приближённых решений для указанной последователь­ ности сегментов; исследовать зависимость погрешности искомого решения от длины h сегментов; исследовать сходимость процесса аппроксимации; оценить быстродействие вычислительной програм­ мы. При выполнении расчётов принять: L = 7Ц А = 70 Вт/м •град, \¥0=\Ш Вт/м3, а = Вт/м2град, Т° = 100й, = 20°

Разрешающие соотношения

Стержень, имеющий длину L = n, разбивается на т сегментов JCJ, / = 1,/и, равной длины h = xi - x i l = к1т. Рассматривается про­ цесс аппроксимации решения дифференциального уравнения с ис­

пользованием двух полиномов первой степени:

Фы М = (х, - x )/h> Ф,(*) = (* - Xi-I)/h ■

Приближённое решение на основе кусочно-линейных пробных функций строится в виде

ТАх)=Ti-\ФмМ + т’/Ф,- W •

Построение системы линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов подробно описано в подразд. 2.1.1. Для сегмента [дг/_\,х,] эта система линейных алгебраических уравнений имеет вид

,sin х —sin Х |

=W01cos*,.,------------------

T, = Wn SinX; - sin X,7-1 - COSJC; \-Vr

Алгоритм решения

Фрагмент программного кода на языке Си, реализующий проце­ дуру построения приближённого решения дифференциального урав­ нения с использованием иерархической системы кусочно-непрерыв­ ных полиномов 1-й степени, представлен Программой 2.1.

Реализация алгоритма

Отрезок [0, к] разбивается на четыре сегмента равной длины

[0,71j = [0,я/4] U [я/4, л/2]U [я/2,Зтх/4] U [3л/4, я].

На каждом из этих сегментов в соответствии с выражением (2.11) определяются кусочно-непрерывные полиномы 1-й степени. Решение дифференциального уравнения представляется разложени­ ем (2.9). Для построения приближённого решения формируется сис­ тема линейных алгебраических уравнений (см. табл. 2.1) относитель­ но искомых коэффициентов Тп / = 0,4.

Результаты расчётов

Результаты приближённого решения заданного дифференциаль­ ного уравнения с использованием иерархической системы кусочно­ непрерывных полиномов 1-й степени приведены на рис. 2.1-2.3 и в табл. 2.2-2.3.

Выводы

1.Процедура метода Галёркина использована для приближён­ ного решения дифференциального уравнения. Сформирована сис­ тема линейных алгебраических уравнений для определения коэф­ фициентов разложения искомого решения по системе кусочно­ линейных функций.

2.Разработана вычислительная программа определения коэф­ фициентов разложения решения дифференциального решения по системе кусочно-линейных функций.

3.С использованием разработанной программы определены ко­ эффициенты и построены приближённые решения дифференциаль­ ного уравнения для 2, 4, 8, 16, 32 и 64 сегментов постоянной длины (см. рис. 2.2).

4.Для указанной последовательности разложений определены

оценки 5т и Ъгт погрешности приближённого решения (см. табл. 2.3) для различного числа т сегментов.

5. Показано, что с уменьшением длины h сегментов погреш­ ность приближённого решения дифференциального уравнения, оп­ ределяемая чебышёвской нормой, уменьшается (см. рис. 2.2, б). По­ грешность аппроксимации имеет первый порядок относительно длин сегментов (шага интегрирования).

6. Выполненное исследование показывает, что последователь­ ность приближённых решений дифференциального уравнения, полу­ ченных методом Галёркина при аппроксимации кусочно-линейными функциями, сходится равномерно на отрезке [0, л].

7. Для численного решения дифференциального уравнения ме­ тодом Галёркина с использованием кусочно-линейных функций на разностной сетке, содержащей 64 сегмента, на компьютере с процес­ сором Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оператив­ ной памяти 512 Мбайт) требуется 2,5-1 (Г3с.