for(k=0; k<Ne; k++)

{ if(k==0) { C[4*k][4*k]=h/3.0;

F [4*k] = (1.0-cos(h))/h;

2.0*cos(k*h)+cos((k+1)*h))/h;

}

C [4*k] [4*k+l]=C[4*k+l] [4*k]=h/3.0; C [4*k+l] [4*k+1]=8.0*h/15.0;

C [4*k] [4*k+2]=C[4*k+2] [4*k]=-h*h/30.0; C [4*k+l] [4*k+2]=C[4*k+2] [4*k+l]=0.0;

C [4*k+2] [4*k+2]=2.0*h*h*h/105.0;

C [4*k+2] [4*k+4]=C[4*k+4] [4*k+2]=h*h/30.0; C[4*k+4] [4*k]=C[4*k] [4*k+4]=h/6.0; C[4*k+l][4*k+4]=C[4*k+4][4*k+l]=h/3.0;

C [4*k] [4*k+3]=C[4*k+3] [4*k]=h*h*h/120.0;

C [4*k+l] [4*k+3]=C[4*k+3] [4*k+l]=h*h*h/105.0; C [4*k+2] [4*k+3]=C[4*k+3] [4*k+2]=0.0;

C [4*k+3] [4*k+3]=C[4*k+3] [4*k+3]=h*h*h*h*h/2520.0; C[4*k+4] [4*k+3]=C[4*k+3] [4*k+4]=h*h*h/l20.0;

F[4*k+l]=-4.0*(cos(k*h)+cos((k+1)*h))/h - 8 .0*(sin(k*h)- sin((k+1)*h))/ (h*h);

F [4*k+2] = (2.0*h*h-24.0)*(cos(k*h)-cos((k+1)*h))/ (h*h) + 12 . 0*(sin(k*h)+sin((k+1)*h))/h;

F [4*k+3] = (48.0-h*h)* (cos(k*h)+cos((k+1)*h))/ (2.0*h)- (5.0*h*h-

48 . 0)*(sin(k*h)-sin((k+1)*h))/ (h*h);

}

C[4*Ne][4*Ne]=h/3.0;

F[4*Ne]=-(1.0+cos((Ne-1)*h))/h;

Ь _______________________________________________________

Реализация алгоритма

Заданный отрезок разбивается на четыре сегмента равной длины

[0,Jt]=G, UG2UG3UG4,

где G, =[0,л/4], G2 =[тс/4 ,л/2], G3 =[л/2,З д/4] и G4 =[Зл/4 ,д]. Заданная функция cos х представляется разложением (1.2). Соотношения (1.3) принимают вид системы линейных алгебраических уравнений

лл

относительно коэффициентов ai9 i - О, 1/2, Г/2, Г /2, 1, 3/2, 3'/2, 3 '/2 , ..., 4.

Подсчитываются дополнительные значения коэффициентов, от­ меченные в приведённой выше системе линейных алгебраических уравнений:

Л Я Л Я

{фугФз/г^ = {фугФз/г^ = {фугФз/г^*' = {ф^гФг^ = {ф^Фб/г^ = {фугФз/г^* =

{ф'2Ф?2^ = /ф^ФзЛ = |ф1/2Ф7/2^= |фу2Ф7/2Л = |ф^Ф7/2А = { ф 'гФ ^ ^ т

уравнений, используемой для построения аппроксимации функ­ ции cos х иерархической системой кусочно-непрерывных полино­ мов четвёртое степени, и правая часть этой системы приведены в табл, l.l I.

Таблица 1.11 Матрица коэффициентов и правая часть системы линейных алгебраических уравнений для построения аппроксимации функции cos х иерархической системой кусочно-непрерывных полиномов четвёртой степени

Результаты расчетов

Решением этой системы уравнений являются коэффициенты

аг = —0,7071, а1/2 = -0,07033, а'1/2 = -0,00974, а ' 2 =0,011635, а4 =-1,0

разложения cos я: по иерархической системе кусочно-непрерывных полиномов четвёртой степени. В табл. 1.12 приведены значения по­ грешности (1.1) аппроксимации функции cos* при различных значе­ ниях числа слагаемых в разложении (1.2).

Таблица 1.12

Погрешность Ътаппроксимации функции cos х иерархической системой кусочно-непрерывных полиномов 4-й степени

при различном числе т сегментов1

Эти же данные представлены в графическом виде на рис. 1.21. Рост погрешности при малом шаге h интегрирования обусловлен накоплением погрешности округления при выполнения большого объёма вычислений.

С использованием формулы (В.1) приближенно определяется по­ рядок погрешности аппроксимации функции cos я: разложением (1.2). Для иерархической системы кусочно-непрерывных полиномов чет­ вертой степени порядок погрешности аппроксимации оценивается значением (для прямолинейного участка)

Ь= (1п0,248431-10'3- In 0,254116-10-9)/(lnl,570796 —1п0,098175) =

=4,97474.

Для получения достоверных данных расчёты выполнены с использованием 10-байтовых данных вещественного типа long double (см. листинг Программы 1.6).

0,01 0,1 1 h Рис. 1.21. Зависимость от длины h сегментов погрешности

аппроксимации функции cos х иерархической системой пробных функций 3-й степени

Рис. 1.22. Зависимость времени / выполнения расчетов от числа т сегментов для иерархической системы кусочно-непрерывных функций 4-й степени

Это показывает, что погрешность аппроксимации методом Галёркина функции C O S J C иерархической системой кусочно-непре­ рывных полиномов 4-й степени погрешности можно приближенно оценить как величину, пропорциональную 5-й степени длины h сег­ ментов, т.е.

5 » = | / - 1 > ^ | = С,И -

В силу этого 5т->0 при О или т -><*>. Это позволяет утвер­

ждать, что процесс аппроксимации функции cos* иерархической системой кусочно-непрерывных полиномов 4-й степени сходится

равномерно на отрезке [0, к].

На рис. 1.22 представлена зависимость времени / выполнения расчетов от числа т сегментов разностной сетки.

Выводы

1.Метод Галёркина использован для аппроксимации функции cos х иерархической системой кусочно-непрерывных полиномов 4-й степени. Сформирована система линейных алгебраических уравне­ ний для определения коэффициентов разложения функции cos л: по указанной системе функций.

2.Разработана вычислительная программа определения коэффи­ циентов разложения заданной функции по иерархической системе кусочно-непрерывных полиномов 4-й степени.

3.С использованием разработанной программы определены ко­ эффициенты и построены разложения функции C O S J C по иерархиче­ ской системе кусочно-непрерывных полиномов 4-й степени для 2, 4, 8, 16, 32 и 64 сегментов постоянной длины.

4.Для указанной последовательности разложений определены

погрешности аппроксимации заданной функции (см. табл. 1.12) с помощью иерархической системы кусочно-непрерывных полино­ мов 4-й степени.

5.Показано, что с уменьшением длин сегментов погрешность аппроксимации уменьшается (см. рис. 1.21). Установлено, что погреш­ ность аппроксимации пропорциональна пятой степени длин сегмен­ тов (шагам интегрирования).

6.Выполненное исследование показывает, что процесс аппрокси­ мации функции cos л: иерархической системой кусочно-непрерывных

полиномов 4-й степени сходится равномерно на заданном отрезке [0, я]. 7. На компьютере с процессором Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) аппроксима­ ция функции cos х на разностной сетке, содержащей 64 сегмента, с использованием иерархической системы кусочно-непрерывных по­

линомов 4-й степени требует 7,510"2с.

2. ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА. ОДНОМЕРНОЕ

СТАЦИОНАРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Уравнение стационарной теплопроводности (диффузии или кон­ центрации) - дифференциальное уравнение эллиптического типа - в общем случае имеет вид

где 7\х) - искомое распределение температуры (концентрации веще­ ства); X - коэффициент теплопроводности (диффузии); W(x) - мощ­ ность внутренних источников тепла (вещества); q - заданный поток тепла (вещества); п - вектор единичной нормали к поверхности; a - коэффициент теплоотдачи (поступления вещества) с поверхности; Too- температура окружающей среды (концентрация вещества в ок­ ружающей среде); Q - область, занятая телом; Г - граница области Q, Г = Г, и Г2 и Г3.

Температурное поле Т(х) в тонком однородном стержне длиной L, теплоизолированном с боковой поверхности, описывается уравнением

Для обеспечения единственности решения уравнения (2.1) мо­ гут использоваться граничные условия различного типа. Граничные условия первого рода определяют значения искомой функции на левом конце

или правом конце стержня

7' M L = r ‘

Граничное условие второго рода накладывает ограничения на значение производной искомой функции на левом конце

или правом конце стержня

хт'(4

где Q°,QL - величины тепловых потоков через торцевую поверх­ ность на левом и правом концах отрезка соответственно.

При теплообмене между торцевой поверхностью стержня и внеш­ ней средой величина теплового потока пропорциональна разности тем­ пературы Т на торце стержня и температуры Тжокружающей среды, т.е. определяется выражением

д = а (Т -Т „ ),

что приводит к граничному условию третьего рода для левого конца

или правого конца стержня

Граничное условие третьего рода можно в общем виде записать как смешанное граничное условие

аТ'(х) + ЬТ(х) = с,

где х = 0 или х = L.

Очевидно, что граничные условия (2.6) и (2.7) могут рассматри­ ваться как частные случаи условия (2.8).

Искомое решение 7\лг) дифференциального уравнения (2.5) при­ ближенно представляется разложением по кусочно-непрерывным