7 Ы = гД Ы = £ т;.(/)ф,.М. |
(ЗЛО) |
/=1 |
|
Для нахождения коэффициентов 7)(/) разложения (ЗЛО) использу ется условие ортогональности каждой пробной функции фДх)Д = 1,«, невязке
cpi„{t,x)-fyrn{t,x)]-W {t,x)* О,
получаемой подстановкой приближения (3.10) в дифференциальное уравнениие (3.5). На отрезке [0,L] условие ортогональности прини мает вид
|
j[cp t„(/,х) - |
[ХТ'(‘,x )] - w (/,x)j<p*{x)dx = 0, |
|
|
L |
L |
L |
|
___ |
jcpT„{t,x)yk(x)dx- J[X7;'(/,x)]'cp*(x)c6c- \w{t,x)qk{x)dx = 0, |
k = i,n. |
|||
o |
o |
o |
|
|
|
Полученное выражение целесообразно преобразовать к виду |
|||
|
L |
L |
|
|
|
\СРf n(t,x)q>k(x)dx- |[Х7;'(^х)ф*(х)]'dx + |
|
||
|
L ° |
L ° |
_ |
(ЗЛ1) |
|
+ ft.T'n{t,x)q>k(x)dx- |
jiv(t,xyp*(x)dx = 0, |
k = \,n. |
|
|
0 |
0 |
|
|
3.1. Явная разностная схема
Задание. Методом Галёркина с использованием кусочно линейных пробных функций и явной разностной схемы построить на отрезке /е [0,3600] приближённое решение одномерного диф
ференциального |
уравнения |
нестационарнойтеплопроводности |
|
cpf(t9x) = \kT'{t,x)\ +W0sinx с |
начальным условием |
r(/,jc)|/=0 = f( JC) |
|
и граничными |
условиями |
T(t,x]x^ = т°е~°'оои, |
с)| = |
= -а^Г(^,л:)| —г ] . Сформировать систему линейных алгебраи
ческих уравнений относительно коэффициентов разложения ис комого решения по заданнной системе пробных функций; разра ботать вычислительную программу для определения коэффициен-
тов разложения решения дифференциального уравнения по заданнной системе пробных функций для 2, 4, 8, 64 сегментов постоянной длины; при известном точном решении определить погрешность приближённых решений для указанной последовательности сегмен тов; исследовать зависимость погрешности искомого решения от длины h сегментов; исследовать сходимость процесса аппроксима ции; оценить быстродействие вычислительной программы. При вы
полнении расчётов |
принять: с = 460 Дж/кг град, |
р = 7800 кг/м3, |
Я = 70 Вт/м град, |
W0 =1000 Вт/м3, а = 30 Вт/м2 |
град, f(x) = T°, |
Т° = 10(f, Тж= 20° |
|
|
Разрешающие соотношения
Стержень, имеющий длину L = n, разбивается на т сегментов jt,.], / = 1,ю, равной длины /7 = JC, - JCM =п/т. На каждом из сегмен
тов определяются кусочно-линейные пробные функции
Для удобства дальнейших выкладок граничные условия для ка ждого сегмента записываются в форме
|
|
|
|
(3.13) |
где q\_x, |
- тепловые потоки на поверхностях левого и правого тор |
|||
цов соответствующего сегмента |
JCJ соответственно. |
|
||
На основе пробных функций (3.12) формируется приближённое |
||||
решение задачи на сегменте [х,_ь хЦ в виде |
|
|||
|
Т« Ь’х)= т,-1 |
(*) + т,(')ф,м . |
(3.14) |
|
где |
и 7](/) - зависящие от времени t коэффициенты разложения |
|||
искомой функции Г(/,х) по пробным функциям (3.12), аппроксими рующие значения температуры в узлах JC/_I и Xj в момент времени t соответственно.
С учётом того, что
Х1
уравнение (3.11) для выбранного сегмента при k = i - 1 (первая проб ная функция) преобразуется к виду
|срГ„(/,д:)фы (x)dx + |х7’„,(/,дг)ф'_1(x)dx = jw(t,x)ipw {x)dx - |
q'_t, |
|
xk-\ |
|
|
или, с учётом приближения (3.14), |
|
|
‘i |
лк |
|
jcp |
(/)cp,_,(x>pw {x)dx+ jcpt, (/>p,.(х)фм (x>& + |
|
*k-\ |
x k -\ |
|
+ |
(/)ф'_, (х)ф'_, (x)dx + ]х7;.(/)ф'(х)ф'_1(x)dx = |
(3.15) |
* -l |
x k -1 |
|
= \w(t,x)yl_l{x)dx-q'i_K
Поскольку для второй пробной функции (к = О
dx =Хг;(/,х)фДх)|^ =XT'(t,x)(fi{x)x -ХТ'{(,х)(р,{х}х11 =—<7,,
**-|
выражение (3.11) принимает вид
хк |
xi |
jcp7).| (/)ф,_, (х)ф, (x)dx + |
jcp t, (/)ф,-(х)ф,. (x)dx + |
(3.16)
+ jx7;.1(;>p'.1(x>p;(x)cfc+ |А.7;.(г)ф'(х)ф' (x)dx = jw{t,xYs?i{x)dx-qr
В итоге получена система линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений температур 7]_,(/) и Т;.(/), т.е. коэф
фициентов разложения (3.14) решения по пробным функциям. Далее, с учётом (3.12) и того, что ср'_, =-1/Л, ф'=1//*, в соотно
шениях (3.15) и (3.16) подсчитываются интегралы: |ср7;_,(/)ф,_,(х)фм (x)dx = СР^ ~ '^ J(xf - x )2dx =^ - t i_x{t),
Jcp7].(/)ф((х)ф,_,{x)dx = |
}(х- хы )(xf - x)dx = ^ - i.{ t) , |
}срт;_)(/)ф1._1(дс)ф((дг)л = ^5 1 1 ^ |(х,- x \ x - x i_i)dx = ^ - i M{t),
|
Jcp7;.(/)ф,(дг>р,(x )d x = S £ ^ |
l |(х - х ,_, f d x = ^ - T i (/); |
|||
x i - l |
|
x i-1 |
|
|
|
|
j^ 7!-!('№-1 (*Ж-. (*)* = A 7)-!(') |
= ^ 7i-l (0. |
|||
|
Xi-1 |
|
Xi |
|
|
|
\х т к Ш * Ы Л х )& = ~ Р - } л = - ^ , |
|
|||
|
xi-i |
|
XI-I |
|
|
|
j^ 7; . |
, (*)ф' (*>&= |
|
|
|
|
Xi-I |
|
Xb-1 |
|
|
|
}^ |
(/ >p;(JC>P' (x>& = |
= |
|
|
|
x i -1 |
|
x l- l |
|
|
|
}^(дг)фы (*>& = |
jsin x(x, - x)dx = |
|
||
PF |
r |
|
f |
SinJf, - |
SinJC, |
= — |
\-x icosx-sinx + jccosxf |
=W0\ iCOSJCM |
- |
7-1 |
|
Л |
|
,l |
v |
|
|
|
|
. ^ 1 - . |
|
|
|
|
jw (jc)cp,.{x)dx =-£■ jsin x(x - x,_, )dx = |
|
|||
^or • |
|
- J f ^ Sin* '~ Sin*'-l |
cosx, . |
||
= —^Isinx—xcosx+x , cosx |
|||||
h L |
- 1 |
|
|
|
|
Подстановка полученных значений в выражения (3.15) и (3.16) приводит к системе линейных алгебраических уравнений относи тельно искомых коэффициентов 7]_,(/) и 7](/):
cph |
smjc, -sinx,_ |
|
^ t . ( 0 + ^ |
7;(0 + T 7; - i ( 0 - f 7;(0 = » ,ol cosxH - |
|
|
SinX: |
\-q t |
|
—cos*, |
Полученную систему уравнений удобно представить в матрич ной форме
Иг(/)}+[А]{7'(/)}={И - |
(3.17) |
Здесь использованы обозначения:
'2 |
Г |
" 1 - Г |
[^,(01 |
||
[С\ = ср~ |
|
h - ! |
|
|
|
О ! |
2 |
1 |
[ т |
||
{ w } = |
W0\ cos*,._, - |
sin x. - |
sin x. |
~4i- |
|
fVn SinX j - SinX-_^ |
cosX- \-q. |
||||
|
|||||
Для интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3.17) используется явный разностный аналог производ ной по времени
{ f j -{Г}
[CV ! т |
+ [л ]{г}= {^}, |
где т - ш а г интегрирования по времени, { fJ= { r(/ + T)}, {7"} ={ Т’(/)}.
Удобно полученную разностную схему записать в виде
{f } - { ТЗ
[с]— ------ -+ [Л ]{T}={w}
или в компонентной форме
з |
в |
у |
з |
* _ * 1 7 |
+[£E* |
|
|
|||
|
h ) |
|
l 6 |
|
|
|||||
+тЖ0 |
COSJCM - |
|
|
- sin *,_! |
|
|
|
|||
|
|
h |
|
■1 4t-u |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 м |
+ 2 |
М |
|
— |
+ |
A J |
|
l 3 |
- - V . |
' |
3 ' u |
|
|
|
h ) |
||||||
+XfTn( sin JC, - sin JCM |
- cosx, |
|
-T q} |
|
|
|||||
l |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для двух соседних сегментов [хм ,х,] и [х,.,х,Ч1] приведённая сис тема уравнений записывается в форме
£E‘ t l + ^ |
+ o ^ , = ( f - f ) r,.,+( ^ + f ) , + o ,. |
|
( |
sinх.-sin*. Л |
, |
+ xfV0\ cos*,.,------- -------- -‘± |
- ч ;.„ |
|
+ TWоJI |
smx. -sinx,., |
cosxy,j - щ , |
---------;-------- |
+ TW^COSX,- |
- sin x,+i - SinX, |
|
O t, * -c f t |
+£f t l = |
|
f smxM -sinx. |
^ |
|
+ T^ ° i------~h------ L' C0S^ |
"’ T^'+1* |
|
Складывая второе и третье уравнения этой системы и учиты вая условие теплового баланса #, +<?• =0, из этой системы уравне ний можно исключить неизвестные величины внутренних тепло вых потоков между соседними сегментами [хм ,х(] и [х,,х,+|], что снижает размерность системы линейных алгебраических уравнений:
Isin X. - sin X,.
+T«/•O.I(сCOSX/. | -------------------I - Щ-i,
c p h f |
2cph |
* |
cph f |
_ ( cph тАЛ _ (ср й |
xA. Л |
|
— TM+— T,+— TM -(— +Y)Tl-l +2{-r~ТГ + |
1Q\ |
|||||
+ fcpA + |
|
|
T w sin XM - 2sin Xj +sin x,_i |
/о |
||
|
|
V • |
’ |
|||
t 6 |
h ) |
,+l |
° |
h |
|
|
f sinjf.., - sin*. |
N\ |
|
|
|||
+ T^ ° 1 — |
|
------------- cos*l-+ lJ -T?/+l- |
|
|
||
Аналогичные преобразования выполняются для всех остальных уравнений этой системы. В результате система линейных алгебраи ческих уравнений для определения нестационарного температурного поля всего стержня принимает вид
3 |
+£PlLf + o f 2 + -- + of m= |
6 |
|
(cph |
тАЛ |
|
Гв° , |
sin 2h - 2sin h
of„ + & - f, + 2& - fI+ - + ofm=
о3
J s2 h .+± \ +2fs £ lL - ± V J s P h .+± |
T f V c sin3h - I s ' m l h + sin h |
|||
cph, |
у |
з |
l 6 |
- h - |
’2 + - |
+ 07,т = |
|
|
|
ОГ0 + ОГ1+ - ^ - 7 |
|
|
||
6 |
|
|
|
|
sin 4h - 2sin 3h + sin 2h
Of0 + 0ft + 0f2 + ■■■+ ^ - f m =
TQ L
Для учёта граничного условия первого рода T(t, *)| = 7'V'0,01/ на левом торце стержня следует первое уравнение приведённой систе мы заменить уравнением Т0 = т°е~0'ои
Для включения в систему уравнений граничного условия третье го рода ХГ'(/,;с)|^ =-a[Y(/,jc)|^-7L.J на правом конце стержня ис
пользуется соотношение |
=а[г(/,дт)| =n- r ooJ = a[fni-7^]. Послед |
|
нее уравнение полученной системы |
||
— |
im* -l |
+— fm= |
, |
^ л т |
|
преобразуется к виду
срА - cph - _
~7~1т-\ + —— *т ~
О J
или
Окончательно система линейных алгебраических уравнений для определения температурного поля всего стержня записывается в форме
Щ + 07] + of2 + ■■■+0fm= Гое-0'01' cph~
6
sin 2h - 2 sin/;
_______J ----------- |
I / _ |
т |
1/1/ |
|
|
|
|
|
l 6 |
|
|
A |
|
|
|
|
|
f cp/z |
|
|
sin3/z-2sin2/z + sin/z |
• |
|
|||
+1^ +тГ>-,и;>-------- |
*-------- |
|
(3.19) |
|||||
0fo+07;+ |
2 р |
г +- + o f , = |
( ^ +;f |
) |
||||
rJ+2(£^ - у ) Гз ■ |
||||||||
( coh |
|
|
sin4/z-2sin3/z + sin2/z |
|
||||
\ 6 + - H ) T' - ' W‘ ------------- |
ft------------- |
|
’ |
|
||||
07Q+ 07j + 072 H----- |
|
H CXT4-^ V |
. = f ^ +^ |
k , |
||||
|
|
|
3 ) |
’ |
l, 6 |
ft |
|
|
|
+x |
|
|
|
+«r_. |
|||
Исключённые из системы первое и последнее уравнения в даль нейшем, после вычисления узловых коэффициентов 7}, могут быть использованы для определения тепловых потоков Q° и
Поскольку рассматриваемая схема является двухслойной, для оценки её устойчивости может быть использован принцип максиму ма. Рассматривается второе уравнение системы (3.18):
Условием устойчивости по начальным данным является соот ношение