теме пробных функций для 2, 4, 8, 64 сегментов постоянной длины; при известном точном решении определить погрешность приближённых решений для указанной последовательности сег­ ментов; исследовать зависимость погрешности искомого решения от длины h сегментов; исследовать сходимость процесса аппрок­ симации; оценить быстродействие вычислительной программы. При

Разрешающие соотношения

Построение разрешающих соотношений метода Галёркина для одномерного дифференциального уравнения нестационарной тепло­ проводности с использованием кусочно-линейных пробных функций приведено в подразд. 3.1.1. Для интегрирования полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3.17) используется раз­ ностный аналог

[C]{r } - { r ) + [A]{ f }= W )

где т - шаг интегрирования по времени, { f \ ={ T{t + т)}, { Г} ={ Г(/)}.

Удобно полученную разностный аналог (3.17) дифференциального уравнений записать в виде

([С] + т[Л]){г} = [С]{7’} + т{^}

или в компонентной форме

Для двух соседних сегментов [*,_!,я,] и [х,,х/+1] приведённая сис­ тема уравнений записывается в форме

= £Е*г,., + + t№o[ = i ± 2i L - ,cos*,- - т qh

Складывая второе и третье уравнения этой системы и учитывая условие теплового баланса ^ + ^ - = 0 , из этой системы уравнений можно исключить неизвестные величины внутренних тепловых по­ токов между соседними сегментами и что снизит размерность системы линейных алгебраических уравнений:

(3.20)

Аналогичные преобразования выполняются для всех остальных уравнений этой системы. В результате система линейных алгебраи­ ческих уравнений для определения нестационарного температурного поля всего стержня принимает вид

на левом торце стержня следует первое уравнение приведённой сис­ темы заменить уравнением Т0= т°е~°'ои

Для включения в систему уравнений граничного условия третье­

нее уравнение полученной системы 172

[ f - т У А ^ т У - -

=£ е н-ттл А т + хwSs in ^ ~ , s in x " - ' —cosхт - т Q

6 3 V

преобразуется к виду

' У г т У А ^ т У - -

ИЛИ

cph тАЛ ~

“I + 6 + T j r" =

Окончательно система линейных алгебраических уравнений для определения температурного поля всего стержня записывается в форме

lf0+ Of; + 0f2+ + 0f m= TQe~°'0U,

T2+ +0 Tm=

= £ e * 7 b + ^ 7 | + ^ r 2- t » i sin 2A -2sinA

Исключённые из системы первое и последнее уравнения в даль­ нейшем, после вычисления узловых коэффициентов могут быть использованы для определения тепловых потоков Q0и

Для рассматриваемой двухслойной схемы устойчивость иссле­ дуется с использованием принципа максимума. Рассматривается вто­ рое уравнение системы (3.20):

Условием устойчивости по начальным данным является соот­

2cph < 2тХ ~ b ~ ~ ~ h '

Из полученного неравенства следует условие устойчивости не­ явной схемы

Алгоритм решения

Ниже приведён фрагмент программы на языке Си, реализующей процедуру построения приближённого решения дифференциального уравнения нестационарной теплопроводности на основе кусочно­ линейных пробных функций с использованием неявной схемы ин­ тегрирования по времени.