разложения для 2, 4, 8, 64 сегментов постоянной длины; для ука­ занной последовательности определить погрешности аппроксима­ ции; исследовать зависимость погрешности аппроксимации от дли­ ны h сегментов; исследовать сходимость процесса аппроксимации; оценить быстродействие вычислительной программы.

Разрешающие соотношения

Для повышения порядка аппроксимации функции cos х система функций (1.12) на каждом из сегментов дополняется кусочно-непре­ рывными полиномами1 Ф-_1/2М третьей степени (рис. 1.17):

Ф,-1 (*)=(*, ~x)/h,

Ф/-1/2(*) = - 4 ( х - хм )(х - X,.)/ h2

(1.14)

Ф/-1/2(•*) = ~4 ( х ~ X i-1Х* —x i - 1/2Л’*' —X i ) / Ь >

Ф ,(х)=(х-х,_,)//г.

Рис. 1.17. Кусочно-непрерывные полиномы третьей степени на сегменте [0, к]

1Общее число пробных функций п = Ът + 1.

= --p-|(3x2 - 6 )COSJC+ (JC3 -6x)sin x - ( x kA +**-1/2 + x k-i)x

X^2JCCOSX + (X2 - 2 ) sin *]} + (**-Л-1/2 + x k-\/2x k + * Л -i)x

x(cos x + x s i n x ) - хк_ххк_шхкsin =

j — {cos**,, -co sx A:)+^-(sinA:A:_1-l-sinx*), &= l,w . h

Система 3/w + l линейных алгебраических уравнений относи­ тельно коэффициентов ai9 i = 0,т, разложения (1.2) получается после подстановки полученных значений интегралов в выражение (1.3). Матрица коэффициентов и правая часть этой системы уравнений принимают вид

}

else

{C [3*k] [3*k]=2.0*h/3.0;

F[3*k]= - (cos((k-1)*h)-2.0*cos(k*h)+cos((k+1)*h))/h;

}

C [3*k] [3*k+l] =C [3*k+l] [3*k] =h/3 .0 ; C [3*k+l] [3*k+l]=8.0*h/15.0;

C [3*k] [3*k+2]=C[3*k+2] [3*k]=-h*h/30.0? C [3*k+l] [3*k+2]=C[3*k+2] [3*k+l]=0.0; C[3*k+2][3*k+2]=2.0*h*h*h/105.0;

C [3*k+2] [3*k+3]=C[3*k+3] [3*k+2]=h*h/30.0; C[3*k+3][3*k]=C[3*k][3*k+3]=h/6.0;

C [3*k+l] [3*k+3]=C[3*k+3] [3*k+l]=h/3.0;

F[3*k+l]= - 4 . 0*(cos(k*h)+cos((k+1)*h))/h - 8 .0*(sin(k*h)- s i n ((k+1)*h))/(h*h);

F [3*k+2] = (2.0*h*h-24.0) * (cos (k*h) -cos ((k+1) *h) )/ (h*h) + 12 . 0*(sin(k*h)+sin((k+1)*h))/h;

}

C[3*Ne][3*Ne]=h/3.0;

F[3*Ne]= - (1.0+cos((Ne-1)*h))/h;

// Решение системы линейных алгебраических уравнений G A USS (С, F, 3*Ne+l);

1__________________________________________________________

Реализация алгоритма

Заданный отрезок разбивается на четыре сегмента равной длины

M = G, UG2UG3UG4,

где G, = [0,я/4], G2 = [я/4,я/2], G3 = [тс/2,Зтс/4] и G4 =[3л/4,я]. Заданная функция COSJC представляется разложением (1.2). Соотношения (1.3) принимают вид системы линейных алгебраических уравнений

л л

относительно коэффициентов а,, i = 0,1/2,1/2,1,3/2,3/2,..., 4. Подсчитываются дополнительные значения коэффициентов, от­

меченные в приведённой выше системе линейных алгебраических уравнений:

лА2

|фоФ1/2<& = —ттг = —0,020562,

о30

/фзФ'т/з^ = - — = -0,020562;