УДК 681.3 Б86,

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики МИРЭА

Ю.И. Худак\

доктор физико-математических наук, профессор, заместитель директора Института механики сплошных сред УрО РАН по науке

А.А. Роговой; кандидат физико-математических наук,

доцент Пермского государственного технического университета

Н.Д. Няшина

Бояршинов, М.Г.

Б86 Численные методы: учеб, пособие / М.Г. Бояршинов; Перм. гос. техн. ун-т. - Пермь, 2006. - Ч. 4. - 162 с.

ISBN 5-98975-080-3

Учебное пособие написано на основе курсов лекций, практических занятий и ла­ бораторных работ для студентов инженерных специальностей Пермского государст­ венного технического университета, изучающих вычислительные методы и приме­ няющих их для решения прикладных задач.

Рассматриваются основные положения теории решения систем линейных алгеб­ раических уравнений прямыми и итерационными методами, нелинейных уравнений, построения полиномов Лагранжа и Ньютона, использования метода наименьших квад­ ратов, нахождения собственных чисел и векторов, численного интегрирования и диф­ ференцирования, решения задач Коши и граничных задач сеточными методами и с ис­ пользованием метода Галеркина.

Излагаются алгоритмы решения прикладных задач с использованием вычисли­ тельной техники, приемы оценки погрешностей получаемых решений, возможные спо­ собы отображения результатов расчетов. По каждой рассматриваемой теме приведены задания для самостоятельной работы студентов.

Предназначено для студентов и аспирантов Пермского государственного техниче­ ского университета, специалистов, занимающихся построением моделей механических систем и процессов. Может быть использовано при проведении факультативных заня­ тий по компьютерному моделированию.

Учебное пособие предназначено для студентов, выполняющих вычисли­ тельные работы при изучении численных методов, расчетные работы во время практикумов по вычислительной математике, а также самостоятельно прово­ дящих исследования, связанные с вычислительными экспериментами при ре­ шении прикладных задач математики, механики, физики, химии, электротех­ ники, геологии и других дисциплин.

Первая глава 4-й части пособия «Численные методы» посвящена методам решения систем линейных алгебраических уравнений прямыми (Гаусса, квад­ ратного корня) и итерационными (Якоби, Зейделя) методами, нелинейных уравнений (методы Ньютона, половинного деления, простых итераций), ап­ проксимации функций (полиномы Ньютона, Лагранжа, методы наименьших квадратов, наилучшего приближения). В качестве обобщающего задания рас­ сматривается алгебраическая задача на собственные значения. Это задание по­ зволяет логично объединить предварительно изученные численные методы ал­ гебры для решения актуальной инженерной проблемы - поиска собственных значений и собственных векторов квадратной матрицы. При наличии возмож­ ности, вышеуказанная задача может быть выделена в самостоятельную курсо­ вую работу. Основное внимание при выполнении вычислительных работ в этой части пособия уделяется получению оценок погрешности численных решений, исследованию сходимости (расходимости) последовательностей получаемых решений при выполнении итерационных процедур, оценке эффективности вы­ числительных алгоритмов и программ.

Во второй главе рассматриваются способы построения разностных анало­ гов производных первого и второго порядков, а также вычисление приближен­ ных значений определенных интегралов методами прямоугольников, трапеций и парабол. Здесь одним из главных вопросов является теоретическая оценка порядка погрешности аппроксимации выбранной вычислительной схемой ис­ ходного дифференциального или интегрального соотношения. Рассматривают­ ся способы оценки погрешности численного результата с использованием по­ следовательности сгущающихся разностных сеток.

В третьей главе пособия численные методы используются для построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений в задачах Коши (мето­ ды Эйлера, Рунге - Кутты, Адамса) и граничных задачах (методы пристрелки, сеточный, Галеркина, наименьших квадратов). Основная идея решения диффе­ ренциальных уравнений численными методами заключается, как правило, в сведении решения исходной дифференциальной задачи к решению систем ал­ гебраических (линейных или нелинейных) уравнений. При этом, естественно, возникает вопрос о решении получаемых систем алгебраических уравнений одним из изученных ранее методов. Как и в предыдущей главе, значительное внимание уделяется оценке погрешности аппроксимации разностной схемой исходного дифференциального уравнения, позволяющей судить о степени аде­ кватности используемой сеточной модели исходной дифференциальной задаче.

Отчет должен в обязательном порядке содержать:

1.Постановку задачи.

2.Краткое описание численного метода (при возможности - с графиче­

ской иллюстрацией) и проверку условий его применимости.

3.Подробное описание алгоритма получения численного решения.

4.Оценку погрешности 5Лполучаемого численного решения. Как правило, для этого используется чебышёвская норма отклонения л-го приближения чис­ ленного решения уп{х) от точного решения у(х) на отрезке [а, Ь]9

^= ™ $}у(х) - уА х)\-

При отсутствии точного решения поставленной задачи погрешность полу­ чаемого результата оценивается с использованием чебышёвской нормы откло­ нения приближенного (численного) решения у„(х) от приближенного (числен­ ного) решения уп+\(х) на отрезке [<а, Ь]:

численных решений у2(х) и у3(х), и так далее.

5. Графическое представление численного решения, полученное с по­ грешностью, не превышающей заданное значение, например, 6„ й 10~*

6.Оценку времени, затраченного на получение численного решения, и ха­ рактеристики ЭВМ, используемой для расчетов (объем оперативной памяти, тип процессора и его тактовую частоту). Поскольку современные компьютеры обладают высоким быстродействием, могут возникнуть проблемы с оценкой времени работы используемого алгоритма. В этом случае приходится, как пра­ вило, замерять время, затраченное на многократное исполнение изучаемого ал­ горитма, повторяемое, например, 1000, 100 000 или большее число раз.

7.Общие выводы по выполненной работе. При этом каждому пункту зада­ ния должно соответствовать краткое, но четкое описание полученного резуль­ тата.

Пристальное внимание следует обратить на оформление результатов вы­ числительных работ. Массивы чисел, получаемые в результате расчетов, не яв­ ляются конечным результатом вычислительного эксперимента. Это лишь «сы­ рье» для кропотливой, вдумчивой работы исследователя, основа для размыш­ лений и выводов. Массивы данных должны быть обработаны и представлены в виде, удобном для последующего анализа, то есть в виде таблиц, рисунков, диаграмм, графиков.

Каждый рисунок следует снабжать исчерпывающим комментарием, разъ­ ясняющим смысл приведенных данных. Координатные оси должны быть в обя­ зательном порядке подписаны и размечены. Если координатные оси отражают значения размерных величин, в подписи к рисунку следует указать используе­ мую размерность. Иногда целесообразно использовать логарифмические коор­ динаты для большей наглядности представления результатов (рис. В.2).

V

0,14

0,12

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0,00

Рис. В.2. Зависимость погрешности у решения алгебраического уравнения от номера итерации к в обычных (а) и логарифмических (б) координатах

При использовании ссылок на печатные работы (тезисы докладов, статьи, монографии) следует руководствоваться общепринятой системой оформления списка используемых литературных источников. Список помещается в конце отчета, все цитируемые источники нумеруются и сортируются по алфавиту, либо по порядку цитирования, либо по годам издания. Например:

1. Бояршинов, М.Г. Влияние лесного массива на перенос и рассеяние авто­ транспортных выбросов / М.Г. Бояршинов // Новое в экологии и безопасности жизнедеятельности: докл. международного экологического конгресса / Балт. гос. техн. ун-т. - СПб, 2000. - С. 235-238.

2.Бояршинов, М.Г. Оценка последствий переноса газового облака над лес­ ным массивом / М.Г. Бояршинов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2 0 0 0 .-№ 4 .-С . 79-87.

3.Бояршинов, М.Г. Модели переноса и рассеяния примесей в раститель­ ных массивах / М.Г. Бояршинов; Перм. гос. техн. ун-т. - Пермь, 2000. - 143 с.

4.Калиткин, Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин. - М.: Наука. Глав­ ная редакция физико-математической литературы, 1978. - 512 с.

Втексте отчета для ссылок на цитируемые литературные источники ис­ пользуются квадратные скобки, в которых номера литературных источников из библиографического списка перечисляются через запятую.

Выражаю свою искреннюю признательность заведующему кафедрой «Вы­ числительная математика и механика» Труфанову Николаю Александровичу и профессору кафедры «Математическое моделирование систем и процессов» Гитману Михаилу Борисовичу за всестороннюю поддержку при подготовке учебного пособия «Численные методы».

Неоценимую помощь при подготовке настоящего пособия оказали студен­ ты специальностей «Математическое моделирование», «Вычислительная мате­ матика И механика» Дмитрий Киселев (гр. ММ-90), Алексей Козлинских и Алексей Харченко (гр. ММ-92), Андрей Черепанов и Роман Новокшанов (гр. ММ-93), Михаил Басин, Наталья Шабрыкина, Владимир Кочуров (ММ-94), Ирина Унчанская, Михаил Додкин (ММ-95), Инна Гитман (ММ-96), Евгений Баженов, Андрей Петров (ММ-97), Алексей Столбов, Яна Орбиданс, Елена Столбов^ Ольга Кольцова, Алексей Кетов, Петр Меленев, Павел Малинин, Олег Ипанов (ММ-98), Илья Новожилов и Александр Бородин (КМ-02), при­ нимавши активное участие в реализации алгоритмов и разработке программ для персональных компьютеров, в выполнении вычислительных эксперимен­ тов.