2.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА
2.1.Численное дифференцирование
Пусть на отрезке \а, b\ введена разностная сетка
={х0 = a; Xj = а + i -h;! = 0,п; h = (Ь- а)/п }.
Впроизвольной точке х/ этой сетки приближенное значение первой произ водной функцииДх) можно представить в виде
/'(* ,) * / ' = «/(*,-!) + Р/(*,)+ У/(*1+,),
где а, Р, у - произвольные постоянные величины. Погрешность такого представления производной оценивается разностью
б = / '( * ,) - / '= / '( * |) - И * н )+ Р/0О + У/(*ы )].
Воспользуемся разложениями функции /(х ) в ряды Тейлора вблизи х„
Д */±.) = Л Ф / '( * ,> + / '( * ,) у ± г ( * , ) у + о (а4)-
После подстановки рядов Тейлора погрешность оценивается выражением
« = / ' ( * > ) - / ' = л * , ) - * * ! " / ( ^ ) + / ' ( * > + / ’ ( ^ ) ^ + г |
( х / ) | - + ф |
) |
L |
о |
|
- Р[Д*,)]- У /(* ,) - /'(*, )Л + /'(* , ) у - /*(*, ) у + о (а4 )
ипосле приведения подобных слагаемых погрешность
б= -/(* / )(<*+Р+ у)+ f i xi)(l - ctA+ уА)- /'(дг, ) у (а + у)+
+ /"(*, ) у (“ “ + У)“ Ф*Ха + У)•
Для получения наименьшей погрешности (наивысшего порядка относи тельно шага Л), очевидно, требуется выполнение соотношений
а + р + у = 0; 1 -аЛ + уА = 0; а + у = 0. |
|
|
Отсюда следует, что а = 1/2А, Р = 0, у = -1/2А, то есть |
|
|
Л |
) = / / = / ( Ц Л и ) , |
(2.,) |
|
2п |
|
После подстановки найденных значений а, Р и у погрешность |
||
б = Г ( * / ) у (~ а + у ) - о(А4)(а + у )= - / " ( * ,) £ = Ф |
) . |
|
о |
о |
|
то есть погрешность аппроксимации производной разностным аналогом (2.1) не превышает 0(h2).
На рис. 2.1 показан вид заданной функции вблизи точки, где требуется отыскать приближенное значение первой производной.
Рис. 2.1. Функция /(х )= x/sinx на отрезке [п/2 - 1, п/2 + 1] вблизи заданной точки х = п/2
Таблица 2.1
Зависимость погрешности численного определения значения первой производной / ' от сеточного шага Л
V
h |
б |
5 |
6 |
1(Г2 |
0,7385-10-1 |
0,5021-Ю'2 |
0,8389-Ю"1 |
10"3 |
0,7804-10'2 |
0,4996-1O'4 |
0,7904-10'2 |
1СГ4 |
0,7849-10 '3 |
0,4579-10"4 |
0,7859-10'3 |
Ю-5 |
0,7858-10-4 |
0,3709-10'7 |
0,7850-1O'4 |
к г 6 |
0,3931-10-4 |
0,4084-10'7 |
0,3923-1O'4 |
10~7 |
0,7896-10"5 |
0,4204-10'7 |
0,781 МО'5 |
1(Г* |
0,8276-10"6 |
0,4216-Ю'7 |
0,7433-Ю’6 |
1<Г9 |
0,1215-Ю-4 |
0,4160-10"7 |
О.ЗвЗЗЮ'1 |
Ю-!° |
0,7269-10"7 |
0,5049-10-7 |
0,2828-10'7 |
|
|||
1(Г11 |
0,8274-10~7 |
0,8274-10'7 |
0,8274-10'7 |
ю -12 |
0,8274-10-7 |
0,8274-10'7 |
0,8274-10'7 |
10'13 |
0,8274-10-7 |
0,8274-10'7 |
0,8274-10'7 |
10-’4 |
0,8890-10“* |
0,8890-10-4 |
0,8890-1 O'4 |
1(Г15 |
0,7993-10"3 |
0,7993-10'3 |
0,7993-10'3 |
10-!6 |
0,7993-10“3 |
0,7993-Ю*3 |
0,7993-10'3 |
|
2.С уменьшением шага разностной сетки погрешность определения чис ленного значения первой производной уменьшается.
3.При очень малых сеточных шагах, h < 210‘п, погрешность определения значения первой производной возрастает, что связано с влиянием ошибок ок ругления результатов расчетов в ЭВМ.
2.1,2. Разностный аналог второй производной
Задание. Вычислить приближенно значение второй производной функции f{x ) - x/sin х в точке х = л/2 с помощью разностного аналога
/ f c -i) - 2/ ( s , ) + / f o J 2
А2
Исследовать сходимость численно определяемых значений к точному зна чению и определить зависимость погрешности численного дифференцирова ния от шага h.
Алгоритм решения
Пусть на отрезке [а9Ъ] задана сетка с шагом h = {b-a)!n. В произволь
ной точке этой сетки приближенное значение второй производной функцииДх) представляется с помощью выражения
■г»_ /(* /-|)-У (* ,)+ /(* ,.|)
3>~ и2
Эта формула аппроксимирует значение второй производной в рассматри ваемой точке с погрешностью второго порядка.
При условии, что погрешность округления 5окр результата вычисления функции в ЭВМ не превышает погрешности аппроксимации при записи разно стных аналогов, можно получить ограничение на шаг сетки при численном оп ределении второй производной f ”,
'486^
h> i
М< ’
где М4 =qaxj/"(*)|.
Выполнение расчетов
Для оценки точности разностных формул определяется вторая производ
ная заданной функции: |
|
|
||
/'(* )= |
х sin2 х - 2sin х cos+ 2х cos2 х |
f ”(n/2)=n/2. |
||
sin3 |
х |
|||
|
|
|||
|
п |
п . |
|
|
xi ~ ’ xi+1 ~ ~2^ ^’ |
|
|
|
|
|
Таблица 2.2 |
Погрешность вычисления значения производной f |
от сеточного шага h |
||
h |
5 |
h |
5 |
10"2 |
0,6572-10'2 |
10"7 |
0,2746-10 '7 |
КГ3 |
0,6539-1 O'* |
ю -8 |
0,1693-10 '3 |
1СГ4 |
0,6009-10 '8 |
КГ9 |
0,2792-10 '1 |
10'5 |
0,2917-10’9 |
,0-ю |
0,2870-Ю1 |
|
|||
10■* |
0,8186-1 О*9 |
|
|
Рис. 2.3. Погрешность 5 аппроксимации второй производной функции /(* ) = jc/sin х вблизи точки х = п/2
Для различных значений шага h определяются, в соответствии с приве денными формулами, приближенные значения производных. В табл. 2.2 приве дены отклонения получаемых значений от точного значения производной:
s =
На рис. 2.3 представлены те же данные в виде зависимости погрешности 6 от шага h.