1.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АЛГЕБРЫ

1.1.Системы линейных алгебраических уравнений

Система т линейных алгебраических уравнений представляется в виде

A x - f ,

/ = • /з >- правая часть системы уравнений; х = <*3 ►- искомый вектор.

л .

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений делятся на прямые и итерационные.

Прямыми называют методы решения систем линейных алгебраических уравнений, для которых результат получается за конечное, заранее известное, число арифметических операций.

Итерационными называются методы, при которых решение системы ли­ нейных алгебраических уравнений получается как предел некоторой последо­ вательности.

1,1.1. Метод Гаусса

Задание. Для системы линейных алгебраических уравнений А х - /

-разработать вычислительную программу, реализующую метод Гаусса;

-найти решение этой системы уравнений;

-построить обратную матрицу А~];

- вычислить определители det(^4) и d et^ "1);

-оценить погрешность нахождения решения системы уравнений;

-подсчитать значение числа обусловленности МА матрицы А;

-оценить быстродействие вычислительной программы.

Пусть теперь а^ * 0. Поделим первое уравнение новой системы на этот

где с23 =с$Цс$1 , си = С2г} 1 ап > с2ш= аг11а 72 С помощью этого соотноше­ ния уравнения системы (1.1) преобразуются к виду

'1 • X, + с12 • х2 + с13 • х3 +...+ с1ш-xm= yv

О • X, +1 • х2 + с23 • х3 +...+ с2т • хт = у 2,

0-х, +0-х2 +а£> -Ху+...+а'£ ■хт= f { v = f<l>- а £ ■у 2,

/ (2)

1*х3 +.. •+С2т*Хт = У} —"(2)" ‘ азз

Снова выполняются операции по понижению порядка системы алгебраи­ ческих уравнений, и так далее, до тех пор, пока вся система уравнений (1.1) не будет преобразована к виду

Процедура получения матрицы такого вида носит название «прямого хо­ да» метода Гаусса. Очевидным условием для успешного выполнения прямого

«Обратный ход» метода позволяет определить искомые величины:

'Хт=Ут'

Х т- 1 — У я»—1 “ ^т-\тХ т '

, Х т -2 ~ Ут-1 ~ ^т-2тХ т ~~ ^т -2т -\Х т-\ >

= У1~ Z c'1клк- к=2

Вычитание строк в методе Гаусса (образование линейных комбинаций уравнений) не изменяет значения определителя матрицы. В результате выпол­ нения всех преобразований метода Гаусса определитель исходной матрицы может быть вычислен с использованием формулы

det(^) = n ^ - ' ) У=1

Таким образом, сохраняя значения коэффициентов, расположенных после преобразования уравнений на главной диагонали (до операции деления коэф­ фициентов строки на первый ненулевой элемент), можно вычислить определи­ тель исходной матрицы.

Пусть a pqi p,q = l,m - коэффициенты обратной матрицы А~х Согласно

ТаКим образом, для нахождения обратной матрицы необходимо решить т систем Линейных алгебраических уравнений с правыми частями, определен­ ными социальным образом. При этом матрицу коэффициентов следует преоб­ разовать лишь один раз, но одновременно преобразовывать т правых частей всех сиСтем уравнений.

Для рассматриваемой задачи, с

учетом полученных значений, МА= 2,7592.

Выводы

1.Разработана программа решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

2.С помощью этой программы найдено решение заданной системы урав­ нений (см. табл. 1.2).

3.Построена обратная матрица (см. табл. 1.3).

4. Вычислены определители исходной det(.4) — 5,71183*10 и обратной detOT1) = 1,75075-10-18 матриц.

5.Определено значение числа обусловленности МА = 2,7592. Поскольку это значение близко к 1, решение системы уравнений является устойчивым по отношению к возмущению правой части.

6.Погрешность решения системы уравнений не превышает 1,548*10

7.Для решения заданной системы линейных алгебраических уравнений

методом Гаусса на компьютере с процессором Intel® Pentium® 4 (тактовая час­ тота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) требуется 1,3*10 5 с.

7.7.2.Метод квадратного корня

Задание. Для системы линейных алгебраических уравнений А х - f с сим­ метричной матрицей А:

-разработать вычислительную программу, реализующую метод квад­ ратного корня;

-найти решение этой системы уравнений;

-построить обратную матрицу А~1;

- вычислить определители det(i4) и d et^"1);

-оценить погрешность нахождения решения системы уравнений;

-подсчитать значение числа обусловленности МА матрицы А;

-оценить быстродействие вычислительной программы.

Алгоритм решения

Метод квадратного корня предназначен для решения систем линейных ал­ гебраических уравнений вида А х - f z симметричной матрицей коэффициен­

тов atj = ajh i,j = 1,m . Метод основан на разложении матрицы коэффициентов

А в произведение:

A = S TDS,

где S - верхняя треугольная матрица с положительными значениями на главной диагонали; D - диагональная матрица со значениями +1 или -1. Соотношения

алгебраических уравнений методом квадратного корня S TDSx = / можно рас­ сматривать как последовательность трех процессов: 1) решения системы урав­ нений S Tz = / , то есть вычисление решения z системы уравнений с нижней

треугольной матрицей S r ; 2) решения системы уравнений Dy = z , то есть вы­ числения решения у системы уравнений с диагональной матрицей D; 3) реше­

Задание. Для системы линейных алгебраических уравнений А х - f

-разработать вычислительную программу, реализующую метод Якоби;

-с помощью этой программы с погрешностью не более 5 = 10"6 найти решение заданной системы уравнений;

-исследовать сходимость последовательности получаемых решений;

-оценить быстродействие вычислительной программы.

Алгоритм решения

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений с отличным от нуля определителем det(/4), которую представим в компонентной форме:

т__

;=/+1

где п - номер итерации.

Условие сходимости последовательности решений метода Якоби: пусть А - симметричная положительно определенная матрица с диагональным преоб~ ладанием, то есть имеет место

т____

чения х ^ \ j = \9т 9 искомых величин, которые подставляются в правую часть

выражения (1.4), что позволяет определить первое приближение решения

= 19т. Затем полученный результат вновь подставляется в правую часть

выражения (1.4) и вычисляется второе приближение xj2),y = l,m, и так далее. Вычислительный процесс заканчивается, например, когда выполняется условие 5* =||*rw '’ ~ x<k>\ = ™ ^x<iM> ~ x<jk>\<b’ 0-5)

где б > 0 - заданная погрешность вычисления результата.

Выполнение расчетов

Пусть система 15 линейных алгебраических уравнений задана, как и ранее, с помощью табл. 1.1.

Решение этой системы уравнений с помощью вычислительной программы, реализующей алгоритм метода Якоби, приведено в табл. 1.7. В качестве на­ чального приближения принято: х ^ = 0, j = l,m .

На рис. 1.1 представлены результаты исследования сходимости решения системы линейных алгебраических уравнений методом Якоби в зависимости от номера итерации к. Для оценки погрешности получаемого решения использу­ ется выражение (1.5).

Выводы

1.Разработана программа решения системы линейных алгебраических уравнений методом Якоби.

2.Уменьшение погрешности решения с ростом числа итераций (см. рис. 1.1) свидетельствует о сходимости последовательности решений системы ли­ нейных алгебраических уравнений, получаемых с помощью метода Якоби.

3.С помощью разработанной программы найдено решение заданной сис­

темы уравнений (см. табл. 1.7) с погрешностью не более 5 = КГ6.

4. Для решения заданной системы линейных алгебраических уравнений ме­ тодом Якоби на компьютере с процессором Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) требуется 2,0-10"4 с.

Рис. 1.1. Погрешность решения системы линейных алгебраических уравнений методом Якоби в зависимости от номера итерации к

1.1.4. Метод Зейделя

Задание. Для системы линейных алгебраических уравнений Ax = f

-разработать вычислительную программу, реализующую метод Зейделя;

-с помощью этой программы с погрешностью не более 5 = 1 0-6 найти решение заданной системы уравнений;

-исследовать сходимость последовательности получаемых решений;

-оценить быстродействие вычислительной программы.

Алгоритм решения

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений с отличным от нуля определителем det(y4). Преобразуем выражение (1.3) к виду, определяю­ щему алгоритм метода Зейделя,

где п - номер итерации.

Пусть матрица А представлена в виде суммы А = Ах+D + А2, причем А |

нижняя треугольная матрица с нулями на главной диагонали, D - диагональная матрица, А2 - верхняя треугольная матрица с нулями на главной диагонали. Тогда условие сходимости метода Зейделя принимает вид: пусть А - симмет­

ричная положительно определенная матрица. Тогда метод верхней релакса­ ции

Для получения решения используется следующий алгоритм. В качестве

нулевого приближения выбираются произвольные значения х ^ \ j = \,т >иско­ мых величин, которые подставляются в правую часть полученного выражения, что позволяет определить первое приближение решения х ^ \ j = \,т .

В отличие от метода Якоби, для вычисления очередной неизвестной х ^ 1^ используются найденные на этой же п + 1 итерации значения всех предыдущих величин x(n+l\ j = 1,/-1 . Затем полученный результат вновь подставляется в правую часть формулы метода Зейделя и вычисляется второе приближение х<2), j = 1, т , и так далее.

Как и в предыдущем случае, вычислительный процесс заканчивается, ко­ гда выполняется условие (1.5).

Выполнение расчетов

Пусть система 15 линейных алгебраических уравнений задана, как и ранее, с помощью табл. 1.1. Легко проверить, что условия сходимости последователь­ ности решений, получаемых методом Зейделя, выполняются (табл. 1.1).

Решение этой системы уравнений с помощью вычислительной программы, реализующей алгоритм метода Зейделя, приведено в табл. 1.8. В качестве на­

чального приближения принято Ху0) = 0, j = 1,/и.

Рис. 1.2. Погрешность решения системы линейных алгебраических уравнений методом Зейделя в зависимости от номера итерации к

На рис. 1.2 представлены результаты исследования сходимости решения системы линейных алгебраических уравнений методом Якоби в зависимости от номера итерации к. Для оценки погрешности получаемого решения использу­ ется выражение (1.5).

Выводы

1.Разработана программа решения системы линейных алгебраических уравнений методом Зейделя.

2.Уменьшение погрешности решения с ростом числа итераций (см. рис. 1.2) свидетельствует о сходимости последовательности решений системы ли­ нейных алгебраических уравнений, получаемых с помощью метода Зейделя.

3.С помощью разработанной программы найдено решение заданной сис­ темы уравнений (см. табл. 1.8) с погрешностью не более КГ6.

4.Для решения заданной системы линейных алгебраических уравнений ме­

тодом Зейделя на компьютере с процессором Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) требуется 1,2-10"4 с.

5. Проведенное исследование показывает, что для решения заданной системы линейных алгебраических уравнений на указанной вычислительной машине мето­ дом Гаусса требуется 1,3-10"5 с, методом квадратного корня - 2,4-10-5 с, методом Якоби - 2,0-1(Г* с, методом Зейделя - 1,2-10-4 с. Следовательно, для заданной сис­ темы линейных алгебраических уравнений наибольшей производительностью при удовлетворительной точности обладает метод Гаусса.