1.4. Собственные значения и собственные векторы

Задание. Для заданной матрицы А размером 8x8 (табл. \.\Ъ) определить собственные значения и собственные векторы с погрешностью не более 10-6 Исследовать устойчивость собственных чисел по отношению к возмущению коэффициентов матрицы А.

Таблица 1.13

Коэффициенты ау матрицы для нахождения собственных чисел и собственных векторов

Алгоритм решения

Пусть А - квадратная матрица размером п х п ; если существуют такие век­

торы X е Rn>X ф 0, что

АХ = ХХ,

то X называется собственным значением, аХ-собственным вектором матри­ цы А, соответствующим этому собственному значению. В иной записи,

а х - х х = { а - ш )х = О, Х ф О.

Очевидно, что эта система линейных однородных алгебраических уравне­ ний имеет нетривиальное решение лишь в случае

Понятно, что характеристический многочлен det(i4 - AJs) является поли­

номом степени п от переменной X . Это, в свою очередь, означает, что сущест­ вует п корней характеристического многочлена и, следовательно, имеется п

Каким-либо из известных методов решения нелинейных уравнений оты­ скиваются корни построенного полинома />„(*), которые представляют собой собственные значения заданной матрицы.

Найденные приближенные собственные значения \ h i =\~n позволяют

отыскать собственные векторы матрицы А. Для этого строится итерационный процесс1вида

(/4- X ,£ ) z (* +1) = Z (* ),

причем Z (0) - произвольный начальный вектор. При достаточно больших к имеет место соотношение

Z (k)* X it

то есть последовательность решений Z (k) стремится к вектору X t, соответст­ вующему собственному числу X,.

Для оценки устойчивости собственных чисел по отношению к возмуще­ нию матрицы А используется оценка

, 1 5 4 _____

Выполнениерасчетов

Для определения наименьшего по модулю собственного числа заданной матрицы с помощью метода Гаусса построена обратная матрица А‘Л (табл.

1.14).

П р и п р о в е д е н и и в ы ч и с л е н и й п ер е д каж д ой о чередн ой итераци ей реком ендуется нор-

т и р о в а т ь в ы п о р д л я п р ед о тв р ащ е н и я ош и бки «overflown. С ледует отм етить, что если

с о б с т в е н н о е зн а ч е н и е в ы ч и с л е н о д о ст ато ч н о то ч н о , т о det(/4 - \,е )* 0 , что м ож ет привести к о с т а н о в к е в ы ч и с л и т е л ь н о го п роц есса. В этом случае для п овы ш ени я устой чи во' с т а р а с ч е т о в в м а т р и ц у А - Х , £ в н о си т ся н ек о то р ая п огреш н ость, н ап рим ер, п счет искаж е-

в д со б с т в е н н о г о зн а ч е н и я , Х , + б .

Таблица 1.14

рых вычислены значения &ъ\{А-ХкЕ) с использованием процедуры метода Га­ усса. Выбранные Хк и соответствующие им значения определителя det(А - ХкЕ)

них проверяются знаки полинома Р8(х) в крайних точках сегмента. Если знаки функции различны, то разыскиваем корень характеристического уравнения, в противном случае переходим к следующему сегменту. В табл. 1.16 представле­ ны все найденные корни характеристического уравнения, являющиеся собст­ венными значениями матрицы А.

Рис. 1.18. Полином Лагранжа, описывающий характеристическое уравнение заданной матрицы А

Таблица 1.16 Корни характеристического уравнения - собственные значения матрицы А

В табл. 1.17 приведены компоненты собственных векторов Хк матрицы А, соответствующих собственным значениям X*.

Таблица 1.17