1.3. Аппроксимация функций

Под аппроксимацией заданной функции /(х ) понимается нахождение функции ф(х) из некоторого определенного класса (например, среди алгебраи­ ческих многочленов заданной степени), в том или ином смысле близкой к /(х ) и дающей ее приближенное представление.

Для решения ряда прикладных задач возникает необходимость прибли­ женной замены функции f( x ) некоторым набором известных функций, вычис­ ление которых проще организовать. В частности, может рассматриваться зада­ ча о наилучшем приближении в нормированном пространстве Я, когда задан­ ную функцию / € Я требуется заменить линейной комбинацией известных

элементов ср* е Я , к = 0,л, так, чтобы отклонение 1/ - *=0 У было мини-

мальным.

Частный случай аппроксимации функции - задача интерполирования - со­ стоит в том, чтобы функцию /(х ), известную лишь в узлах некоторой сетки

заданного отрезка, то есть определенную в виде таблицы, /(х ,)= / ,,/ = 0,л,

приблизить непрерывной на этом отрезке функцией ср(х), которая в точках х, совпадает с заданными табличными значениями,

Ф(*/)=//> <= 0,л.

Функция ср(х) может определяться, например, следующим образом:

п

Ф ( * ) = 1 > л ( х)’

к=0

где ф*(х) - набор линейно независимых функций. Очевидно, что в приведен­ ных примерах задач о наилучшем приближении и интерполировании функция ф(х) определяется набором параметров ак, к = 0, п , от которых зависит линей­ но. В противном случае говорят о нелинейной аппроксимации.

1.3.1. Интерполяционный многочлен Ньютона

Задание. Аппроксимировать функцию /(x ) = |xj на отрезке [-1, 1] с ис­

пользованием полинома Ньютона. Исследовать сходимость последовательно­ сти полиномов на равномерной и чебышёвской сетках.

Алгоритм решения

Для произвольной функции /(х ) определим разделенные разности: - первая разделенная разность

f{xh Xj)= [/(* ,)-/(ху)] Дх,- -Ху),

- вторая разделенная разность

f { xi’xj>xk)~ [/^*i’xj )~ f(,xj ’хк)] j{xi ~ xk)i - третья разделенная разность

f{xi>Xj<xk,x,)= |/(х,,х>)х * )-/(х у,х*,х/)] /{ х .- х ,)

и так далее. Пусть Рп(х) - искомый интерполяционный многочлен степени п. Запишем для него разделенные разности:

Л.(х.х0) = [/5л(х ) - />п(д:о)] /( х - х 0), / >я(х,х0,х1)= [Рл(х,х0) - Р л(х0>х,)] /(х - х ,),

Рл(х,х0,х,,х2) = [Рл(х,х0,х,)—Рл(х0,х,,х2)] /( х - х 2) , ...

Отсюда получаем выражение для полинома в виде pA x )= pA*o)+рАх-хо)(х ~ хо)=

=^n(*o)+ (* - * o )k (Jfo ^ i)+ (* -;lciK(*.Xo,x1)]=

=^(*о)+(*~*о) [pn(Jco.xI)+(x -x,X />„(x0,x1,x2)+ (x -x 2)/5„(x,x0,xl,x;,)}]=..

Иначе это выражение можно записать в такой форме:

^(* )= ^ (х о )+ (х - х 0)/,л(х0,х1)+

+(х- х0)(х- х,)Рп(хо,х,,х2)+(х- х0)(х- х,)(х- х2)/5„(х,х0.х|,х2)+...

Поскольку в точках xh / = 0, п значения полинома Р„(х,) должны совпадать со значениями заданной функции /(*, ), то должны совпадать и соответствую­ щие разделенные разности: / ’„(XQ^ /(*о)» Рп(хо>х\)= /(*o»xi) и так далее. По­ этому искомый полином записывается в форме

Рп = /(*0 )+ (Х - Х0)[/■(*0.■*1)+ (*~ *1 ){/(*0 •*1.■*2 )+ •'• ■•}]

или

Л(х) = /(х 0)+ (х - х0)/(х0,х,)+ (х - х0)(х - х, )/(х0,х, .х2)+ ...

Погрешность аппроксимации функции /(х ) полиномом Рп(х) на отрезке

[a, b] определяется выражением

Погрешность аппроксимации можно уменьшить, если использовать в ка­

честве узловых точек корни полинома Чебышева степени п,

В этом случае оценка погрешности полинома Ньютона имеет вид

Выполнение расчетов

Пусть на отрезке [-1, 1] построена равномерная сетка, содержащая 5 узлов. Воспользуемся аналитической зависимостью /(х ) = |х| для табличного задания функции. Узловые координаты х, и соответствующие им значения функции /(* ,) приведены в табл. 1.9. Здесь же представлены значения разделенных раз­ ностей, определенные с использованием приведенных выше соотношений.

Использование полученных разделенных разностей позволяет построить на отрезке [-1, 1] полином Ньютона, соответствующий функции /(х ) = |х|, за­ данной таблично с помощью равномерной сетки, содержащей 5 узлов:

P4(x)=l + fx + l) ( - I + (х + 0,5){0 + (х - 0)[1,3333 + (х - 0,5)(-1,3333)]}).

Аналогичным образом строятся аппроксимации на сетках, содержащих 3, 9,17,33 и 65 узлов1. Вид соответствующих функций приведен на рис. 1.10.

1Рекомендуется выполнять вычисления с использованием переменных вещественного типа «двойной точности».

38

На рис. 1.11 показана зависимость погрешности аппроксимации полино­ мами Рп(х) заданной функции /(х ) = | х | на равномерных сетках:

Рис. 1.10. Аппроксимация на отрезке [-1,1] функции /(х ) = |х| полино­ мами Ньютона Л»(х), построенными с использованием равномерных сеток

Рис. 1.11. Погрешность аппроксимации у функции /(х ) = |х|

полиномами Ньютона Рп(х) на отрезке [-1,1] в зависимости от номера п на равномерных сетках

Рис. 1.13. Погрешность аппроксимации 6„ функции /(*)= |x|

полиномами Ньютона (Лагранжа) Рп(х) на отрезке [-1,1] в зависимости от номера п при использовании чебышёвских сеток

Аналогично строятся аппроксимации на сетках, содержащих 3, 9, 17, 33 и 65 узлов1. Вид соответствующих функций приведен на рис. 1.12.

На рис. 1.13 показана зависимость погрешности аппроксимации полино­ мами Рп(х) заданной функции /(х ) = |х| на последовательности чебышёвских

сеток.

Выводы

1.Разработана вычислительная программа для аппроксимации заданной функции полиномом Ньютона на указанном отрезке с использованием равно­ мерных сеток.

2.С помощью этой программы исследована сходимость последователь­

ности полиномов Ньютона, аппроксимирующих заданную функцию на сетках с 3, 5, 9, 17, 33 и 65 узлами. Показано, что для заданной функции последователь­ ность полиномов Ньютона на равномерных сетках расходится.

3.Разработана вычислительная программа для аппроксимации заданной функции полиномом Ньютона на указанном отрезке с использованием чебы­ шёвских сеток.

4.С помощью этой программы исследована сходимость последователь­

ности полиномов Ньютона, аппроксимирующих заданную функцию на сетках с 3, 5, 9, 17, 33 и 65 узлами. Показано, что для данной функции последователь­ ность полиномов Ньютона на чебышёвских сетках сходится.

1Рекомендуется выполнять вычисления с использованием «двойной точности».

Решение этой системы уравнений методом Гаусса позволило построить полином, аппроксимирующий на отрезке [-1, 1] функцию /(х)=|*|, заданную

таблично с помощью равномерной сетки, содержащей 101 узел:

Р4(х) = 0,1182 + 1,6257х2 - 0,7977х4

Аналогичным образом строятся полиномы Р2(х\ Pg(x), Р,6(х), Рп(х) и Ры(х). Вид этих функций приведен на рис. 1.14. На рис. 1.15 показана зависи­ мость погрешности аппроксимации полиномами Рп(х) функции f{ x )= |JC| :

= И .М - /М 1 = ^ а х ]|/}„(х )-/(х )|.

Выводы

1.Разработана программа для аппроксимации заданной функции поли­ номами на указанном отрезке с использованием метода наименьших квадратов.

2.С помощью этой программы исследована последовательность полино­ мов Р2(х), Р4(х), Р%{х\ Р\ь(х\ Ръг{х) и Р ьа(х ), аппроксимирующих заданную функцию. Для заданной функции последовательность полиномов сходится.

1.3.4, Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве

Задание. Для функции /(х ) = |х| на отрезке [-1, 1] построить наилучшее

приближение в гшьбертовом пространстве с использованием полиномов. Ис­ следовать сходимость последовательности полиномов.

Алгоритм решения

Рассмотрим линейное нормированное пространство Я, в котором задана конечная система линейно-независимых элементов ср* е Я , к = 0,п. Требует­ ся заменить элемент / е Я линейной комбинацией

Рассмотрим отклонение приближения (р от элемента/ ,