- •Бояршинов, М.Г.
- •1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АЛГЕБРЫ
- •1.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •1.2. Нелинейные уравнения
- •1.3. Аппроксимация функций
- •1.4. Собственные значения и собственные векторы
- •2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА
- •2.1. Численное дифференцирование
- •2.2. Численное интегрирование
- •3.2. Граничные задачи
- •4. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ
- •4.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •4.2. Нелинейные уравнения
- •4.3. Аппроксимация функции
- •4.4. Собственные значения и собственные векторы
- •4.7. Задачи Коши
- •4.8. Граничные задачи
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
№ |
|
Интеграл |
№ |
Интеграл |
№ |
Интеграл |
|
'"fe'Ve1- 2 dx |
|
3 |
|
j * |
|
25 |
27 |
jxarctgxdx |
29 |
|||
|
J |
ех+ 2 |
|
0 |
|
*xlnx |
26 |
j |
х |
\ |
J(l + lnx)2dx |
30 |
f |
sin2 x + c o s- + tgx |
dx 28 |
|||||
|
-я/3 ' |
2 |
' |
i |
|
0 ^ 2 - x 1 |
4.7.Задачи Коши
Для задачи Коши на заданном интервале (табл. 4.7):
-разработать вычислительную программу, реализующую (по указанию преподавателя) метод:
а) Эйлера; б) Рунге - Купы 2-го порядка;
в) Рунге - Купы 3-го порядка; г) Рунге - Купы 4-го порядка; д) Адамса;
-найти численное решение дифференциального уравнения;
-исследовать сходимость последовательности численных решений при уменьшающихся шагах интегрирования;
-определить шаг итерирования, обеспечивающий погрешность чис
ленного решения не более 1 0 , - оценить быстродействие вычислительной программы.
No
1
2
3
4
5
6
7
Таблица 4.7
Варианты заданий для самостоятельного выполнения
|
Задача Коши |
|
Интервал |
|
y '- y / x |
= X2 , j |x=1=0 |
|
|
[1 , 2 ] |
У '-У ctg(x) = 2x sin(x), |
у\х=ф = 0 |
[л/2 , я] |
||
У' + Уcos(x) = sin(2x)/2, |
y\x=0 = 0 |
[0 , 1 ] |
||
y' + y tg(x) = cos2 (x), у\х^ |
= 0,5 |
[л/4, п/2] |
||
y '- y / ( x + 2 ) = X 2 + 2 X , |
^ |
=_,=1,5 |
[- 1 . 0 ] |
|
/ - l / ( x |
+ l)=e*(x + l), |
^ |
= 0 = 1 |
[0 . 1 ] |
y - ^ / x |
= xsin(x), у\хтф =! |
[я/2 , я] |
||
№
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30 _
Задача Коши
у' +у /х = sin(x), |
4 |
^ = 0 1 |
у ' +у / 2х = х 2, |
^ |
=,=1 |
у' + 2xy/(l + х2J= 2x2/(l + х2), ^ „ = 2 / 3
у ’- ( 2 х - 5 )у /х 2 =5, |
Д ,=2=4 |
||||
У + у /х = (х +1>хА , |
|
= в |
|||
у '- у / х = - 21п(х)/х, |
^ , = 1 |
||||
у '- у / х = - * /х 2, ^ , = 4 |
|||||
у ' +2у/х = х \ |
|
3'|1=1 = -5 /6 |
|||
у' +у /х = Ъх, |
^ |
=)=1 |
|
||
y '-2 x y /{l + x 2)=l +x2, |
Д ,=,= 3 |
||||
у + О - г х ^ А 2 = 1, |
^|1=1 = 1 |
||||
у' +3у/х = 2 / х \ |
^ , = 1 |
|
|||
у' +2ху = -2 х 3, |
ДJ=1 = 1/е |
||||
y ' +x y /2 [l-x 2)=x/2, |
у\х=0=2/3 |
||||
у' +ху = - х 3, |
^ |
= |
3 |
|
|
y - 2 y /( x + i) = y (x + i)2, |
Д1=0=1 |
||||
У + 2лу = e 'jr,xsin(x)> |
|
= 1 |
|||
У -2 ^ /(х + 1) = (х + 1)3) |
Д ,=0=0,5 |
||||
y -^ c o s(x ) = -sin(2x)t |
4 ^ = 3 |
||||
У -4 х у = -4х3, |
|
Дх=0 = -0,5 |
|||
У '- у/х = - ln(x)/x, |
>|1ж1=1 |
||||
у - з х А = х 2(1+х3]/з, |
д ^ - о |
||||
У - у cos(x) = sin(2 x), |
|
|
= -1 |
||
Интервал
[*,2*]
[1,2]
[0,1]
[2,3]
[1,2]
[1.2]
[1,2]
[1,2]
[1,2]
[1,2]
[1,2]
[1,2]
[1,2]
[0,1]
[0,1]
[0,1]
[0,1] [0, 1] [0,1] [0,1] [1 , 2 ] [0 , 1 ] [0 , 1 ]
4.8. Граничные задачи
4.8.1. Разностный метод
Для дифференциального уравнения второго порядка с заданными гранич ными условиями (см. табл. 4.8):
-построить разностные аналоги дифференциального уравнения и гра ничных условий;
-оценить погрешность аппроксимации дифференциального уравнения и граничных условий разностными аналогами;
-разработать вычислительную программу, реализующую разностный ме
тод;
-с помощью разработанной программы найти численное решение по ставленной задачи;
-исследовать сходимость численных решений и определить зависимость погрешности численного решения от шага интегрирования Л;
-определить шаг интегрирования А, обеспечивающий погрешность чис
ленного решения не выше 1 0 “*; - оценить быстродействие вычислительной программы.
4.8.2. Метод пристрелки
Для дифференциального уравнения второго порядка с заданными гранич ными условиями (см. табл. 4.8):
-разработать вычислительную программу, реализующую метод при стрелки;
-с помощью разработанной программы найти численное решение по ставленной задачи с погрешностью, не превышающей КГ6;
-определить шаг интегрирования А, обеспечивающий указанную по грешность численного решения;
-оценить быстродействие вычислительной программы.
4.8.3. Метод Галеркина и метод наименьших кеадратое
Для дифференциального уравнения второго порядка с заданными гранич ными условиями (см. табл. 4.8):
-построить систему пробных (взвешивающих) функций;
-построить разрешающие соотношения - систему линейных алгебраиче ских уравнений;
-найти приближенное решение;
-исследовать сходимость последовательности швра^лшмвшшгк дгопшдий и определить зависимость noipenraociB от числа умрашшюеш. з р ш ш л ш и пробных функций;
-определить количество слагаемых в разложении двевиисяпд в ш сиспиие
пробных функций, обеспечиваю щ ее погреш ность не выш е ШГ*; - выполнить оценку эффективности вычислительной нврогртммвд.
Ташпвпщ®4-..$
Варианты заданий для самостоятельного i
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
1 1
1 2
13
14
15
16
17
18
19
2 0
2 1
2 2
23
Дифференциальное уравнение
у'+ ху' = 0
у'- х у ' =0
у”+ху = 0
V |
IIо ъ |
y ,r + ysinx = 0 y '- y s in x = 0
y’ + x2y' = 0
у' - х 2у ' = 0
у”+ху'+у = 0
у”- х у ' +у = 0 у* + х у '- у = 0
у’ - х у '- у = 0
у" - у '+ х у = 0
y r- y f+xy = 0
у' +у '- х у =0
у”+у ’- х у =0
y ,r + ysinx = 0 y ' + ysinx = 0 y* + ysinx = 0 y ,r+ >ysinx = 0
у 9+ [cos(2 x)+ l]y = 0 y 9 +{cos2 x +\)y = 0
у ' + У + e~2ly = 0
I |
Граничные условия |
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
1 |
> U = 0 - > L = <w |
|
|||||||
; |
у |
^ |
^ |
|
о |
л |
|
|
|
I |
> U = 0 ’->iL= |
0 |
»1 |
|
|||||
|
>fx=0 |
= 0 ’> U l = |
1 |
|
|||||
|
^*=0 |
= M |
|
L = 1 |
j |
||||
|
^ |
= |
O. > L = O J |
|
|||||
|
> L »= 0 '> L = |
0 *1 |
|
||||||
|
•Их= 0 |
= °’ Дг=1 |
= 1 |
|
|||||
|
V w о II о |
|
|
|
II |
|
|
||
|
•Их= 0 |
= °*-4r=l = 1 |
|
||||||
|
^ |
= |
0 |
, |
^ |
= |
1 |
|
! |
|
^ I=0 |
= ° , j i =1= i |
|
||||||
|
•HI =O = ,’>’1L I = 0 |
|
|||||||
|
j i =0 = 1’> i= i= 0 |
|
|||||||
•Hz= 0 |
” ^ 1 JP=0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
-Hx= 0 |
+ ^ 1x= 0 |
= |
Mx*l + |
~ * |
|
||||
Д . о + 4 |
^ |
= ,*Ч г«1 -4п .1= | |
,| |
||||||
«Их=0 ~~ У1x=0 = ^ H r«l “ ^1**! = * |
|
||||||||
|
> U = ° * > U i=1 |
I |
|||||||
|
>ix= 0 = 1.> , u |
= |
° |
1 |
|||||
|
Д » о = 0 ^ |
и |
= 1 |
|
|||||
№
24
25
26
27
28
29
30
Дифференциальное уравнение
у’ +у '- е ~ 2ху = 0
у’ +у' + е~2ху = 0
у’ +у '- е ~ 2ху = 0
у'- 2 х у ' +{х -1 )у = 0
у" -2 ху' +( х - \) у = 0
у’ -2 ху' + ( х - \) у = 0
у” +у' +(} - х )у = 0
Граничные условия
>'U o=1^ ' U i =0
y U o = i . ^ = i =0 3'Uo = 0 ,y |x=1= l
Ч;^ X о |
О |
X |
II |
II |
II |
Ч: м^ |
|
j'U 0 = i . y U ,= o y 'L o =0’^ i =l
Л = 0 = 1’ Нс=1=1