Выводы

1. Определены приближенные значения второй производной заданной функции в указанной точке с ипользованием разностного соотношения.

2.С уменьшением шага разностной сетки погрешность определения при­ ближенного значения производной уменьшается.

3.При малых сеточных шагах, h < КГ4, погрешность определения значе­ ния второй производной возрастает, что связано с влиянием ошибок округле­ ния результатов расчетов в ЭВМ.

2.2.Численное интегрирование

Требуется вычислить значение определенного интеграла

/ = J/(x)dx.

а

Пусть подынтегральная функция на отрезке [а, Ь] представлена разложе-

у=0

данных точках ху; фу(х) - линейно-независимые функции. Подстановка разло­

жения под знак интеграла приводит к выражению

ь___

постоянным шагом h на заданном отрезке [а, Ь\. Аддитивность операции ин­

ох,_,

Вычислять и оценивать квадратурные формулы.

2.2.1. Формула прямоугольников

10

Задание. Для определенного интеграла je~* dx :

о

-разработать вычислительную программу, реализующую метод прямо­ угольников;

-найти значение заданного интеграла;

Рис. 2.4. Сходимость на последовательности сеток Q„ значений

ю

интеграла je~x dx, вычисленных по формулам метода прямоуголь-

о

ников с центральной (-о-), левой (-А-) и правой (-0-) точками

На рис. 2.4 приведены кривые, отражающие сходимость процесса при10

ближенного вычисления определенного интеграла jV x dx с помощью формул

о

метода прямоугольников с левой, центральной и правой точками.

Выводы

1. Найдены приближенные значения определенного интеграла от заданной функции на указанном отрезке с использованием формулы прямоугольников.

2.С уменьшением шага разностной сетки погрешность вычисления при­ ближенного значения определенного интеграла уменьшается.

3.Погрешность вычисления интеграла не превышает КГ6 (согласно табл.

2.3), если шаг интегрирования равен 3,9-10~3 для метода прямоугольников с центральной точкой и 1,9-Ю^6 для метода прямоугольников с левой И правой точками. Это свидетельствует о более высокой эффективности метода прямо­ угольников с центральной точкой.

4. Для вычисления значения определенного интеграла по формуле прямо­ угольников с центральной точкой на компьютере с процессором Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) требуется 0,8-10 '3 с.

ю

Задание. Для определенного интеграла je~xdx :

о

-найти значение заданного интеграла;

-исследовать сходимость численно определяемых значений при умень­ шении шагов интегрирования;

-определить зависимость погрешности численного интегрирования от шага интегрирования;

-установить, при каком шаге интегрирования погрешность вычисления интеграла не превышает КГ6/

-оценить быстродействие вычислительной программы.

Алгоритм решения

Пусть функция /(х ) на отрезке [xk. ]txk] заменяется линейным прибли­ жением /(х ) * [(хк - x)f{xk_\ )+ (х - хк_\)f(xk)]/h. Это означает, что для разло­ жения /(х ) используются две функции: Фо(*) = (**-*)/Л и Ф1(х) = (х-х^_1)/Л. В этом случае весовые коэффициенты принимают следую­ щие значения:

С0* = }<PoW£b: = r . С* = jcp,(x)dc = ^.

Отсюда вытекает формула трапеций:

}/(x)dx * /(**_, ) | + /(* , ) | = {/(х,.,)+ f{x t Щ . **-■

Погрешность вычисления интеграла на отрезке [х*ч , х*] оценивается ве­ личиной

M ± £ L = 0 {h} ).

Для всего отрезка интегрирования [а, Ь] погрешность интегрирования Оценивается выражением

|6|<M 2A2(6 -a)/l2 . В этих выражениеях, как и ранее,

Иными словами, для всего отрезка [а, Ь] погрешность формулы трапеций Имеет второй порядок.

На рис. 2.5 приведена зависимость погрешности приближенного вычисле-

ю

ния определенного интеграла Je'xdx с помощью формулы трапеций.

о

Выводы

1. Найдено приближенное значение определенного интеграла от заданной функции на указанном отрезке с использованием формулы трапеций.

2.С уменьшением шага разностной сетки погрешность определения при­ ближенного значения интеграла уменьшается.

3.Погрешность вычисления интеграла по формуле трапеций не превышает КГ6 (согласно табл. 2.4), если шаг интегрирования равен 1,95-10-3

4.Для вычисления значения определенного интеграла по формуле трапе­

ций на компьютере с процессором Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) требуется 3,Ы(Г3 с.

2.2.3. Формула парабол (Симпсона)

ю

Задание. Для определенного интеграла je~xdx ;

о

-разработать вычислительную программу, реализующую метод парабол;

-найти значение заданного интеграла;

-исследовать сходимость численно определяемых значений при умень­ шении шагов интегрирования;

-определить зависимость погрешности численного интегрирования от шага интегрирования;

-установить, при каком шаге интегрирования погрешность вычисления интеграла не превышает 10-6;

-оценить быстродействие вычислительной программы.

Алгоритм решения

Пусть на отрезке [х*_1} х*] функция /(х ) заменяется полиномом Лагранжа

2-й степени:

[а, b] погрешность формулы парабол имеет четвертый порядок.

Выполнение расчетов

Для различных значений шага h определяются, в соответствии с приве­ денным выражением, приближенные значения заданного интеграла. В табл. 2.5 приведены отклонения 5 = |/ - I h\ получаемых численных значений /* интегра­ ла от точного значения

Рис. 2.6. Сходимость на последовательности сеток Qnзначений интеграла

ю

fe~*dx, вычисленных по формуле парабол (Симпсона) 0

На рис. 2.6 приведена зависимость погрешности численного определения

ю

интеграла je~s dx с помощью формулы парабол (Симпсона).

О

Выводы

1. Найдены приближенные значения определенного интеграла от заданной Функции на указанном отрезке с ипользованием формулы парабол (Симпсона).

2.С уменьшением шага разностной сетки погрешность определения при­ ближенного значения интеграла уменьшается.

3.Погрешность вычисления интеграла по формуле трапеций не превышает

Ю”6 (согласно табл. 2.4), если шаг интегрирования равен 1,25-КГ1.

4. Для вычисления определенного интеграла на компьютере с процессо­ ром Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) при заданной точности КГ6 по формуле прямоугольников (с централь­ ной точкой) с шагом 3,9-10-3 требуется 0,8-1(Г3 с; по формуле трапеций с ша­ гом 1,95-10 3 - 3,1-10“3 с; по формуле парабол (Симпсона) с шагом 1,25-10-1 - 0/МО-4 с. Очевидно, что затраты ресурсов вычислительной техники (при оди­ наковой точности) для вычисления определенного интеграла будут наимень­ шими при использовании формулы парабол (Симпсона).

5. При вычислении определенного интеграла снижение погрешности при Уменьшении шага интегрирования наблюдается лишь до некоторого значения

^ =7,8 -1 О**3. Дальнейшее уменьшение шага интегрирования не приводит к по­ вышению точности вычисляемого значения определенного интеграла.

Рис. 3.2. Численные решения задачи Коши методом Эйлера при различных шагах интегрирования:

И= 0,5 (a), h = 0,25 (5), Л = 0,125 (в)ик = 0,0625 (г)

Рис. 3.3. Сходимость на последовательности сеток численных решений задачи Коши, полученных методом Эйлера: зависимости погрешностей 5ЛЛ/2 (-о-) и 5Л(-А-) от шага интегрирования h

На рис. 3.3 приведены зависимости погрешностей bh hj2 и 5Лполучаемых

численных решений от шага интегрирования И.

Выполнение расчетов

Для различных значений шага интегрирования h определяются, в соответ­ ствии со схемой Рунге - Купы 2-го порядка, численные решения заданного уравнения (табл. 3.2). Результаты численного решения задачи этим методом показаны на рис. 3.4.

Таблица 3.2

Численные решения задачи Коши dy/dx =- у , у |х=0 = 1 методом Рунге - Кутты 2-го порядка при различных шагах интегрирования h

решениями (для общих точек **), а также отклонения 6А= maxly* -у(х*)| по-

Рис. 3.4. Численные решения задачи Коши методом Рунге - Купы 2-го порядка при различных шагах интегрирования:

h = 0,5 (a), h = 0,25 (б), h = 0,125 (в) и h = 0,0625 (г)

Рис. 3.5. Сходимость на последовательности сеток Q„ решений задачи Коши методом Рунге - Кутгы 2-го порядка: зависимости

погрешностей 5ЛЛ/2 С- 0 - ) и (~д- ) от шага интегрирования h

1. Найдено с помощью метода Рунге - Купы 2-го порядка численное ре­ шение поставленной задачи Коши.

2.Исследована сходимость численного решения: с уменьшением шага ин­ тегрирования h сокращается отклонение численного решения от точного а также различие двух численных решений, полученных с шагами с шагами А, А/2, hJ4, А/8,..., соответственно.

3.Установлено, что для получения численного решения с погрешностью не выше КГ6 шаг интегрирования должен быть не более 4,0-10"3 (см. рис. 3.5).

4.Следует отметить некоторое повышение погрешности численного ре­ шения при малых шагах интегрирования. По-видимому, при шагах интегриро­ вания, меньших 4,7-10-7, на точность получаемого решения оказывает влияние погрешность округления данных, хранимых в ЭВМ.

5.Для получения численного решения задачи Коши методом Рунге - Кутгы 2-го порядка с заданной погрешностью на компьютере с процессором Intel® Pen­ tium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) с шагом 4,0-10 '3 требуется 4,6*10-5 с.

-разработать вычислительную программу, реализующую метод Рунге - Кутты 3-го порядка;

-найти численное решение дифференциального уравнения;

-исследовать сходимость последовательности численных решений при уменьшающихся шагах интегрирования;

-определить шаг интегрирования, обеспечивающий погрешность чис­ ленного решения не более 10-6;

-оценить быстродействие вычислительной программы.

Алгоритм решения

Пусть для отрезка [а, Ъ], на котором ищется решение дифференциального уравнения, построена = {х0 = а; х,- = а + / •h; i = 0,п\ h = (b- а)/п } - сеточная

область с постоянным шагом И. Для нахождения численного решения методом Рунге - Кутты 3-го порядка вычислительный процесс строится в соответствии с выражениями

K3 = f( x k +h,y i -h K i+ 2 h K 2),

Л + 1 = Л + £ (* 1 + 4 * 2 + * з* k = l,2,..„ y 0 =y(0).

Здесь, как и ранее, у к - результат численного решения дифференциально­ го уравнения. Погрешность аппроксимации исходного дифференциального уравнения приведенной схемой Рунге - Кутты имеет третий порядок, 5 = o(h3 ) .

Выполнение расчетов

Для различных значений шага интегрирования h определяются, в соответ­ ствии со схемой Рунге - Кутты 3-го порядка, численные решения заданного уравнения (табл. 3.3).

Таблица 3.3

Численные решения задачи Коши dy/dx = -у , y\xsQ = 1, методом Рунге - Купы 3-го порядка при различных шагах интегрирования И

С использованием численных решений, полученных для разных шагов ин­

решениями (для общих точек хД а также отклонения бА= тах|у* -у(х*)| полученных численных решений от точного.

в г

Рис. 3.6. Численные решения задачи Коши методом Рунге - Купы 3-го порядка при h = 0,5 (a), h = 0,25 (б), h = 0,125 (в) и h = 0,0625 (г)

Рис. 3.7. Зависимости от шага интегрирования h погрешностей 5Л^/2 (-о-)

и 8Л(-А-) решений задачи Коши методом Рунге - Кутгы 3-го порядка

Результаты численного решения задачи этим методом показаны на рис. 3.6. На рис. 3.7 приведены зависимости погрешностей 5Л^ 2И численных

решений от шага интегрирования h.

У ш =Уц + -{К 1+2К2 +2К3+К4), k = 1,2,..., y0 =y(0)-

6

Здесь у к —результат численного решения дифференциального уравнения. Погрешность аппроксимации исходного дифференциального уравнения приве­ дет*0** схемой Рунге - Куггы имеет четвертый порядок, 5 = o(h4).

Выполнениерасчетов

Для различных значений шага интегрирования h определяются, в соответ­ ствий со схемой Рунге - Купы 4-го порядка, численные решения заданного уравнения (табл. 3.4). Результаты численного решения задачи этим методом показаны на рис. 3.8.

Таблица 3.4

Численные решения задачи Коши dy/dx = - у , у\х^0 = 1, методом Рунге - Купы 4-го порядка при различных шагах интегрирования И

С использованием численных решений, полученных для разных шагов ин­

лучаемых численных решений от точного. На рис. 3.9 приведены зависимости погрешностей 6АА/2и бАчисленных решений от шага интегрирования А.

Выводы

1. Найдено с помощью метода Рунге - Кутгы 4-го порядка численное ре­ шение поставленной задачи Коши.

2.Исследована сходимость численного решения: с уменьшением шага ин­ тегрирования А сокращается отклонение численного решения от точного, а также различие последовательности численных решений, полученных с шага­ ми А, А/2, А/4, А/8,..., соответственно.

3.Для получения численного решения с погрешностью не выше ИГ6 шаг интегрирования должен бьггь не более 1,25-10"1(см. рис. 3.9).

4.Повышение погрешности численного решения при шагах интегрирова­ ния, меньших 4,9-10"4, обусловлено влиянием погрешности округления данных, хранимых в ЭВМ.

5.Для получения численного решения задачи Коши методом Рунге - Кутгы

4-го порядка с заданной погрешностью на компьютере с процессором Intel® Pen­ tium®4 (тактовая частота 2,2 ГТц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) с шагом 1,25-КГ1требуется 2,4-10-6 с.

3. L 5. Метод Адамса

dу

Задание. Для задачи Коши -f- = - yk-o = Г на интервале [0,2]: dx

-разработать вычислительную программу, реализующую метод Адамса;

-найти численное решение дифференциального уравнения;

-исследовать сходимость последовательности численных решений при уменьшающихся шагах интегрирования;

-определить шаг интегрирования, обеспечивающий погрешность чис­ ленного решения не более 10-6;

-оценить быстродействие вычислительной программы.

Алгоритм решения

Пусть для отрезка [а, Ъ1, на котором ищется решение дифференциального уравнения, построена = {х0 = а; х,- = д + / • A; i = 0,п, h = (b - а)/п } - сеточная область с постоянным шагом А. Предполагается, что для четырех последова-

решениями (для общих точек хк), а также отклонения 6Л= max \ук -.у(х*)| по-

xte(\,

лучаемых численных решений от точного. Результаты численного решения за­ дачи этим методом показаны на рис. 3.10. На рис. 3.11 приведены зависимости погрешностей бЛЛ/2и численных решений от шага интегрирования h.

Выводы

1.С помощью метода Адамса найдено численное решение поставленной задачи Коши.

2.Исследована сходимость численного решения: с уменьшением шага ин­ тегрирования h сокращается отклонение численного решения от точного, а также различие последовательности численных решений, полученных с шага­ ми А, А/2, А/4, h!8,..., соответственно.

3.Для получения численного решения с погрешностью не выше 1СГ6 шаг

интегрирования должен быть не более 3,1 -10"2 (см. рис. 3.11).

4.Повышение погрешности численного решения при шагах интегрирова­ ния, меньших 2,4-1 O'4, обусловлено влиянием погрешности округления данных, хранимых в ЭВМ.

5.Для численного решения задачи Коши методом Адамса с заданной по­ грешностью на компьютере с процессором Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) с шагом 3,1-10-2 требуется 1,4*10-5 с.