- •Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие сведения о математическом моделировании.
- •Численные методы
- •Элементы теории погрешности
- •Понятия мастера и надстройки
- •Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
- •1.1. Матрицы и векторы. Определения
- •1.2. Матрицы специального вида
- •1.3. Действия над матрицами
- •1.4. Нормы матрицы и вектора
- •1.5. Матрицы в задачах строительной механики
- •1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил
- •1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
- •1.5.3, Матричная форма метода сил
- •1.5.4. Матричная форма метода перемещений
- •1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей
- •1.7. Функции Excel для операций над матрицами
- •Категория: математические. Функции:
- •2.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами
- •2.2.3. Метод прогонки
- •2.2.4. Метод (схема) Холецкого
- •2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)
- •2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя.
- •2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса
- •2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы
- •2.6. Вычисление определителя
- •2.7. Вычисление обратной матрицы
- •2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.8.1. Вводные замечания
- •2.8.2. Методы развертывания вековых определителей
- •2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения
- •2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •3.1. Отделение корней
- •3.2. Этап уточнения корня
- •3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)
- •3.2.2.Метод хорд
- •3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •3.3. Системы нелинейных уравнений
- •3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel
- •3.4.1. Решение нелинейных уравнений
- •Последовательность действий
- •4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
- •4.2.4. Сплайн-интерполяция
- •Глава 4. Аппроксимация
- •4.1. Задача и способы аппроксимации
- •4.2. Интерполирование функций
- •4.2.1. Постановка задачи интерполирования
- •4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •4.3. Среднеквадратичное приближение функций
- •4.3.1. Метод наименьших квадратов
- •4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение
- •4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания
- •4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- •Последовательность действий
- •Последовательность действий
- •5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •5.2. Квадратурная формула трапеций
- •5.3. Квадратурная формула Симпсона
- •5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
- •Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
- •6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи
- •6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
- •6.3. Численные методы решения задач Коши
- •6.3.1. Метод Эйлера
- •(геометрический метод решения задачи Коши)
- •6.4. Численные методы решения краевых задач
- •Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
- •Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных
- •Сходимость метода конечных разностей
- •6.5. Вариационный подход к решению краевых задач
- •6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления
- •6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала
- •6.5.3. Метод Ритца
- •6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •Построение второй итерации
- •Последовательность действий.
- •Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
- •Глава 7. Метод конечных элементов
- •7.1. Основные положения МКЭ
- •Построение расчетной модели
- •Аппроксимация искомой функции
- •Составление разрешающих уравнений
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •7.2.1. Классификация конечных элементов
- •Одномерный конечный элемент
- •Двухмерные конечные элементы.
- •элемента
- •Одномерный симплекс-элемент
- •Двухмерный треугольный симплекс-элемент
- •7.2.3. Интерполирование векторных величин
- •7.2.4. Разбиение области на конечные элементы
- •7.2.5 Нумерация узлов и элементов
- •7. 3. Основные соотношения МКЭ
- •7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
- •7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов
- •7.4. Другие типы конечных элементов
- •7.4.1. Элементы Эрмита
- •7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ
- •7.6.1. Специализированные программные комплексы
- •7.6.2. Универсальные программные комплексы
- •8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации
- •8.1. Общие сведения
- •8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •8.1.3. Классификация задач математического программирования
- •8.2. Постановка задачи оптимального проектирования
- •8.2.1. Определение входных и выходных параметров
- •8.2.2. Выбор целевой функции
- •8.2.3. Назначение ограничений
- •8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
- •8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
- •8.3. Задачи линейного программирования
- •8.3.1. Общая постановка задачи ЛП
- •8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными
- •8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Задача об оптимальном плане выпуска продукции
- •Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)
- •Задача о планировании смен на предприятии
- •Задача о покрытии местности при строительстве объектов
- •Транспортная задача
- •Задача о назначениях (проблема выбора)
- •8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании
- •8.4. Нелинейные задачи оптимизации
- •8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
- •8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
- •Основные этапы поиска экстремума
- •8.4.3. Численные методы одномерного поиска
- •Метод перебора или равномерного поиска
- •Метод дихотомии (или половинного деления)
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Метод наискорейшего спуска
- •Метод сопряженных градиентов
- •Метод Ньютона
- •Метод штрафных функций
- •8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц Excel
- •Литература
- •Оглавление
- •Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
например, из 100 уравнений с шириной ленты 20, изменяться будут только 20 уравнений после каждого шага исключения).
3) Элементы вне ширины ленты не влияют на процесс исключения, так как равны 0. Следовательно, их помнить не нужно.
Это обстоятельство позволяет хранить матрицу в виде прямоугольного массива шириной, равной ширине ленты.
2.2.3. Метод прогонки
Метод прогонки является модификацией метода Гаусса для частного случая систем уравнений с трехдиагональной матрицей вида
V i 1*2-ч. |
|
= 4 "\ |
^2*1 +h x2+ <Х.\ |
|
= d, |
' Х<Ъ*2 +^*3 +***4 |
||
Хч |
X |
(2. 11) |
|
..'.ъ |
> |
|
|
|
X.'а»х \ |
X |
|
|
п^п-1+Х*н Х М » |
|
Векторы: |
' 'А |
'А |
о |
|
|
J
Система (2.11) имеет единственное решение при выполнении условия ’’преобладания диагональных элементов”, т.е. при выполнении условия:
1^1 > |«,|+Ы > 0,(/ = |
. |
(2.12) |
Причем решение единственно, если хотя бы для одного значения / выполняется строгое неравенство. Это условие, «преобладания диагональных элементов», обеспечивает также устойчивость метода прогонки относительно погрешностей округления.
Метод прогонки состоит из двух этапов: прямой и обратной прогонки. При прямой прогонке каждое неизвестное выражается
через */+, с помощью прогоночных коэффициентов Uit F, :
Численные методы решения задач линейной алгебры
*, |
= U ix M + К>0' = 1,2,3,..., н - 1), |
(2.13) |
|||
где |
г _ |
с1 |
|
d * |
(2.14) |
и , = — L, |
Vi= — |
||||
|
1 |
Ь * |
1 |
h |
|
Последующие прогоночные коэффициенты: |
|
||||
U, =- |
V, = |
L, |
|
(2.15) |
|
|
|
|
|
||
Ц =°IVI-1+bi- |
|
|
|
||
Формулы (2.15) включают и вычисление U\ и V\ при U0 = О,VQ= 0. |
|||||
После прямого хода система (2.11) примет вид |
|
||||
*1 |
= U\X2 + V\> |
л |
|
|
|
|
|
|
|||
х2 ~ U2ХЪ |
^2» |
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
(2.16) |
х„-\ = и п-\хп + ги_„ |
|
|
|
||
а„хп-1+ К хп ~d„- |
|
|
|
||
Обратная прогонка состоит в последовательном |
|||||
вычислении неизвестных |
х, .Сначала |
вычисляется |
неизвестное |
||
X",используя два последних уравнения преобразованной системы |
|||||
(2.16): |
|
|
|
|
|
x ,= {d n - a nVn_x)l(bn +anUn_x). |
(2.17) |
||||
Затем, используя выражение (2.13), последовательно вычисляются все неизвестные хп_]ухп_2,-- ,х 2,Х\.
ИАлгоритм метода прогонки
1)Вычисляются прогоночные коэффициенты U„ К, по формулам (2.15) для /=1,2,...я-1;
2)Определяется хпиз выражения (2.17);
3)По формуле (2.13) последовательно вычисляются все остальные
неизвестные |
,хп_2г **,х2»х\ • |
2.2.4. Метод (схема) Холецкого
Данный метод имеет несколько модификаций. Он основан на способе треугольного разложения исходной матрицы коэффициентов, если эта матрица симметричная положительно определенная, какие, в основном, и получаются при расчетах строительных конструкций методами строительной механики [12].
Можно показать, что для симметричной положительно определенной матрицы А всегда существует разложение
А = L • L7 |
(2.18) |
где L - нижняя треугольная матрица, a L/ - транспонированная к ней верхняя треугольная матрица.
Матрицу L легко получить методом Гаусса, но на практике предпочитают выполнять вычисления путем прямого сопоставления матриц А и L- LT Элементы матрицы L можно определять по строкам или по столбцам, приравнивая соответствующие элементы матриц L и-Ьт к элементам матрицы А в выражении (2.18). Если матрицу вычисляют по строкам, то для элементов /-й строки справедливы следующие соотношения:
./-I
aij
/*,=— f — , ; + ! < / < * (2.20)
и
(/=1,2,.
Решение системы уравнений А х X = В осуществляется в два
этапа:
1)сначала определяется вектор Y из уравнения LY = В ,
2)затем вектор неизвестных X находится из уравнения L1X - Y
/-1
Ь - ^ я - У к
(2.21)
и
П
У'/ ^ 1^kl '
k=i+1 |
(2.22) |
|
/7
Метод Холецкого особенно эффективен для решения систем линейных алгебраических уравнений с ленточными симметричными матрицами. Такого вида матрицы обычно получаются при решении задач механики деформируемого твердого тела при использовании различных численных методов, в частности, метода конечных элементов (МКЭ). Ход решения при этом не изменяется, только следует учитывать ширину ленты т Вне ширины этой ленты элементы матриц А и L равны нулю. Формулы (2.19) и (2.20) с учетом этого будут иметь вид
(2.23)
(2.24)
j= i-m ,..., г-1.
Аформулы (2.21) и (2.22) соответственно
/-1
(2.25)
//
(2.26)
а