- •Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие сведения о математическом моделировании.
- •Численные методы
- •Элементы теории погрешности
- •Понятия мастера и надстройки
- •Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
- •1.1. Матрицы и векторы. Определения
- •1.2. Матрицы специального вида
- •1.3. Действия над матрицами
- •1.4. Нормы матрицы и вектора
- •1.5. Матрицы в задачах строительной механики
- •1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил
- •1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
- •1.5.3, Матричная форма метода сил
- •1.5.4. Матричная форма метода перемещений
- •1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей
- •1.7. Функции Excel для операций над матрицами
- •Категория: математические. Функции:
- •2.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами
- •2.2.3. Метод прогонки
- •2.2.4. Метод (схема) Холецкого
- •2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)
- •2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя.
- •2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса
- •2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы
- •2.6. Вычисление определителя
- •2.7. Вычисление обратной матрицы
- •2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.8.1. Вводные замечания
- •2.8.2. Методы развертывания вековых определителей
- •2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения
- •2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •3.1. Отделение корней
- •3.2. Этап уточнения корня
- •3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)
- •3.2.2.Метод хорд
- •3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •3.3. Системы нелинейных уравнений
- •3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel
- •3.4.1. Решение нелинейных уравнений
- •Последовательность действий
- •4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
- •4.2.4. Сплайн-интерполяция
- •Глава 4. Аппроксимация
- •4.1. Задача и способы аппроксимации
- •4.2. Интерполирование функций
- •4.2.1. Постановка задачи интерполирования
- •4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •4.3. Среднеквадратичное приближение функций
- •4.3.1. Метод наименьших квадратов
- •4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение
- •4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания
- •4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- •Последовательность действий
- •Последовательность действий
- •5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •5.2. Квадратурная формула трапеций
- •5.3. Квадратурная формула Симпсона
- •5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
- •Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
- •6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи
- •6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
- •6.3. Численные методы решения задач Коши
- •6.3.1. Метод Эйлера
- •(геометрический метод решения задачи Коши)
- •6.4. Численные методы решения краевых задач
- •Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
- •Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных
- •Сходимость метода конечных разностей
- •6.5. Вариационный подход к решению краевых задач
- •6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления
- •6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала
- •6.5.3. Метод Ритца
- •6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •Построение второй итерации
- •Последовательность действий.
- •Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
- •Глава 7. Метод конечных элементов
- •7.1. Основные положения МКЭ
- •Построение расчетной модели
- •Аппроксимация искомой функции
- •Составление разрешающих уравнений
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •7.2.1. Классификация конечных элементов
- •Одномерный конечный элемент
- •Двухмерные конечные элементы.
- •элемента
- •Одномерный симплекс-элемент
- •Двухмерный треугольный симплекс-элемент
- •7.2.3. Интерполирование векторных величин
- •7.2.4. Разбиение области на конечные элементы
- •7.2.5 Нумерация узлов и элементов
- •7. 3. Основные соотношения МКЭ
- •7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
- •7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов
- •7.4. Другие типы конечных элементов
- •7.4.1. Элементы Эрмита
- •7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ
- •7.6.1. Специализированные программные комплексы
- •7.6.2. Универсальные программные комплексы
- •8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации
- •8.1. Общие сведения
- •8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •8.1.3. Классификация задач математического программирования
- •8.2. Постановка задачи оптимального проектирования
- •8.2.1. Определение входных и выходных параметров
- •8.2.2. Выбор целевой функции
- •8.2.3. Назначение ограничений
- •8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
- •8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
- •8.3. Задачи линейного программирования
- •8.3.1. Общая постановка задачи ЛП
- •8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными
- •8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Задача об оптимальном плане выпуска продукции
- •Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)
- •Задача о планировании смен на предприятии
- •Задача о покрытии местности при строительстве объектов
- •Транспортная задача
- •Задача о назначениях (проблема выбора)
- •8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании
- •8.4. Нелинейные задачи оптимизации
- •8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
- •8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
- •Основные этапы поиска экстремума
- •8.4.3. Численные методы одномерного поиска
- •Метод перебора или равномерного поиска
- •Метод дихотомии (или половинного деления)
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Метод наискорейшего спуска
- •Метод сопряженных градиентов
- •Метод Ньютона
- •Метод штрафных функций
- •8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц Excel
- •Литература
- •Оглавление
- •Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
Степень точности метода оценивается с помощью алгоритма
половинного шага, описанного выше.
Реализация данного метода с использованием таблиц Microsoft Excel приведена в подразделе 6.6.2.
6.4. Численные методы решения краевых задач
Точное решение краевых задач удается получить лишь для немногих частных случаев. Поэтому общий способ их решения заключается в использовании различных приближенных методов. В настоящее время наиболее широкое распространение получили численные методы, в основе которых лежит метод сеток.
Сущность метода сеток состоит в аппроксимации искомой непрерывной функции совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некоторых точках области - узлах. Совокупность узлов, соединенных определенным образом, образует сетку. Сетка, в свою очередь, является дискретной моделью области определения искомой функции.
Применение метода сеток позволяет свести дифференциальную краевую задачу к системе алгебраических (линейных или нелинейных^) уравнений относительно неизвестных узловых значений функций.
Наиболее часто на практике используются два метода сеток:
1)метод конечных разностей (МКР);
2)метод конечных элементов (МКЭ) (глава 7).
Воснове МКР лежит конечно-разностная аппроксимация производных в определяющих уравнениях задачи.
Воснове МКЭ лежит вариационный подход, т.е. решение основной вариационной задачи - исследование экстремума функционала, связанного с физической сущностью задачи.
Существуют и другие подходы к построению численного решения краевых задач, например, переход от исходного дифференциального уравнения в частных производных к
эквивалентному интегральному уравнению, подлежащему дальнейшим преобразованиям. Примером указанного подхода служит метод интегральных граничных элементов (МГЭ) [20], который в данном пособии не рассматривается.
Численные методы можно применять только к корректно поставленным задачам. Задача считается корректной, если для нее
существует решение, оно единственно и непрерывно зависит от входных данных. Таким образом, численное решение задачи считается корректным, если ее дискретный аналог сохраняет свойства корректности, т.е. получаемая система алгебраических уравнений имеет единственное решение и оно устойчиво к входным данным (коэффициентам дифференциального уравнения, начальным или граничным условиям).
Если поведение конструкции или явления описывается единственным дифференциальным уравнением, то приближенное решение можно получить как методом конечных элементов, так и методом конечных разностей. Если же конструкция в целом неоднородна и состоит из большого числа отдельных конструктивных элементов, поведение каждого из которых описывается своим дифференциальным уравнением, то в этом случае, как правило, применяют метод конечных элементов или метод граничных элементов.
6.4Л Метод конечных разностей решения краевых задач
Метод конечных разностей является универсальным и наиболее распространенным численным методом решения краевой задачи. При реализации МКР:
Область непрерывного аргумента заменяется дискретным множеством точек, разностной сеткой Q,, (6.43).
Искомая непрерывная функция заменяется сеточной функцией, для чего все производные, входящие в дифференциальное уравнение, и краевые условия заменяются конечно разностными аналогами, выраженными через значения искомой
функций в узлах сетки. Этот процесс называется конечно разностной аппроксимацией (КРА).
В результате КРА краевая задача заменяется системой линейных алгебраических уравнений, решение которой дает значения сеточной функции у,.
Конечно-разностная аппроксимация для функций одной
переменной
Конечно-разностнаяаппроксимация - основное понятие теории разностных схем.Это наиболее распространенный прием численногоинтегрирования какобыкновенных, так и дифференциальных уравнений в частных производных.
Начнем с КРА функций одной переменной.
Рассмотрим функцию у =у(х), непрерывную на отрезке [а,Ъ\. На область непрерывного аргумента х нанесем разностную сетку П„ (6.43) (рис.6.8).
Функцию непрерывного
аргумента |
у-у(х) |
|
заменим |
функцией |
|
дискретного |
аргумента |
|
на |
данной |
сетке |
сеточной |
функцией |
|
У{Уо,У\>~,Уп)> |
гДе |
|
У<=У(хф /=0, |
|
|
переменной
Производная функции у= у(х), по определению, есть предел отношения приращения функции А у к приращению аргумента Ад*
при Ах -> 0 :
У - lim — .
л*-»о A JC
В численных расчетах с достаточной степенью точности для малых значений Ах можно принять
/ |
Av |
У |
Ах |
|
Рассмотрим аппроксимацию производной функции у = у(х)
для сетки с постоянным шагом h, т.е. полагаем Ах ~ h .
Геометрический смысл производной - тангенс угла наклона касательной в точке фис. 6.9).
Запишем выражения для первой производной функции в точке Xj В зависимости от способа вычисления конечных разностей получаются разные формулы для вычисления производной в одной и той же точке, а именно:
|
у \ = - \ 2А |
- |
(6.50) |
|
|
центральная разностная формула, |
|
||
|
y\=bZl!=L |
_ |
(6.51) |
|
|
И |
|
|
|
I- * \ k4 |
левая разностная формула, |
|
||
|
|
|
||
Рис.6.9 Аппроскимация |
У , = - ±1_^L _ |
(6.52) |
||
производной функции |
||||
И |
|
|
||
|
|
|
||
правая разностная формула.
Можно найти также выражения для старших производных:
'у' - (у/у ... ^/>1 - у ' |
(Ум- y t)lh-{y,-y,-\)/h _ |
|
|
' |
h |
h |
(6.53) |
|
|
|
|
A2
Аналогично определяются производные высших порядков в конечных разностях.