- •Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие сведения о математическом моделировании.
- •Численные методы
- •Элементы теории погрешности
- •Понятия мастера и надстройки
- •Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
- •1.1. Матрицы и векторы. Определения
- •1.2. Матрицы специального вида
- •1.3. Действия над матрицами
- •1.4. Нормы матрицы и вектора
- •1.5. Матрицы в задачах строительной механики
- •1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил
- •1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
- •1.5.3, Матричная форма метода сил
- •1.5.4. Матричная форма метода перемещений
- •1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей
- •1.7. Функции Excel для операций над матрицами
- •Категория: математические. Функции:
- •2.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами
- •2.2.3. Метод прогонки
- •2.2.4. Метод (схема) Холецкого
- •2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)
- •2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя.
- •2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса
- •2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы
- •2.6. Вычисление определителя
- •2.7. Вычисление обратной матрицы
- •2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.8.1. Вводные замечания
- •2.8.2. Методы развертывания вековых определителей
- •2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения
- •2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •3.1. Отделение корней
- •3.2. Этап уточнения корня
- •3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)
- •3.2.2.Метод хорд
- •3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •3.3. Системы нелинейных уравнений
- •3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel
- •3.4.1. Решение нелинейных уравнений
- •Последовательность действий
- •4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
- •4.2.4. Сплайн-интерполяция
- •Глава 4. Аппроксимация
- •4.1. Задача и способы аппроксимации
- •4.2. Интерполирование функций
- •4.2.1. Постановка задачи интерполирования
- •4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •4.3. Среднеквадратичное приближение функций
- •4.3.1. Метод наименьших квадратов
- •4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение
- •4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания
- •4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- •Последовательность действий
- •Последовательность действий
- •5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •5.2. Квадратурная формула трапеций
- •5.3. Квадратурная формула Симпсона
- •5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
- •Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
- •6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи
- •6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
- •6.3. Численные методы решения задач Коши
- •6.3.1. Метод Эйлера
- •(геометрический метод решения задачи Коши)
- •6.4. Численные методы решения краевых задач
- •Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
- •Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных
- •Сходимость метода конечных разностей
- •6.5. Вариационный подход к решению краевых задач
- •6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления
- •6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала
- •6.5.3. Метод Ритца
- •6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •Построение второй итерации
- •Последовательность действий.
- •Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
- •Глава 7. Метод конечных элементов
- •7.1. Основные положения МКЭ
- •Построение расчетной модели
- •Аппроксимация искомой функции
- •Составление разрешающих уравнений
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •7.2.1. Классификация конечных элементов
- •Одномерный конечный элемент
- •Двухмерные конечные элементы.
- •элемента
- •Одномерный симплекс-элемент
- •Двухмерный треугольный симплекс-элемент
- •7.2.3. Интерполирование векторных величин
- •7.2.4. Разбиение области на конечные элементы
- •7.2.5 Нумерация узлов и элементов
- •7. 3. Основные соотношения МКЭ
- •7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
- •7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов
- •7.4. Другие типы конечных элементов
- •7.4.1. Элементы Эрмита
- •7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ
- •7.6.1. Специализированные программные комплексы
- •7.6.2. Универсальные программные комплексы
- •8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации
- •8.1. Общие сведения
- •8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •8.1.3. Классификация задач математического программирования
- •8.2. Постановка задачи оптимального проектирования
- •8.2.1. Определение входных и выходных параметров
- •8.2.2. Выбор целевой функции
- •8.2.3. Назначение ограничений
- •8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
- •8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
- •8.3. Задачи линейного программирования
- •8.3.1. Общая постановка задачи ЛП
- •8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными
- •8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Задача об оптимальном плане выпуска продукции
- •Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)
- •Задача о планировании смен на предприятии
- •Задача о покрытии местности при строительстве объектов
- •Транспортная задача
- •Задача о назначениях (проблема выбора)
- •8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании
- •8.4. Нелинейные задачи оптимизации
- •8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
- •8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
- •Основные этапы поиска экстремума
- •8.4.3. Численные методы одномерного поиска
- •Метод перебора или равномерного поиска
- •Метод дихотомии (или половинного деления)
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Метод наискорейшего спуска
- •Метод сопряженных градиентов
- •Метод Ньютона
- •Метод штрафных функций
- •8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц Excel
- •Литература
- •Оглавление
- •Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
могут входить такие конструктивные элементы, как стержни, пластины и оболочки различной формы, массивные тела. Использование матриц требует дискретизации расчетной схемы. С этой точки зрения матричная формулировка задачи особенно удобна при расчете стержневых систем, для которых дискретная расчетная схема является наиболее естественной.
Удобство представления конструкции дискретной расчетной схемой при использовании ЭВМ привело к тому, что эту схему распространили и на расчет континуальных систем типа пластин, оболочек и массивных тел. Широкая реализация этой идеи привела к методу конечных элементов (глава 7), который появился в начале пятидесятых годов XX столетия. Примерно в это же время активно стала внедряться матричная форма расчета.
Поясним смысл матричных операций на простейших задачах строительной механики.
1.5.1.Матрицы влияния внутренних сил
Врасчетах стержневых систем нас всегда интересует связь между внешними стами, действующими на систему, и внутренними устиями, возникающими в отдельных сечениях или элементах конструкции.
Для линейно деформируемых систем справедлив принцип независимости действия сил (суперпозиции) и любое внутреннее усилие Sh (в /-м сечении или элементе конструкции) от действия нескольких нагрузок Р/, Р2, ..., Р„ может быть представлено в виде алгебраической суммы усилий от каждой нагрузки Р, в отдельности:
Si= snPi+si2P2 +... + sinP„. |
(1.Ю) |
Поскольку, по правилам линейной алгебры произведение строки на столбец равно алгебраической сумме попарных произведений их. элементов, выражение (1.10) можно записать в виде
Sr |
(1.10а) |
/2 |
|
Вычисляя внутренние усилия в нескольких (т) сечениях или элементах от действия той же группы внешних нагрузок Р/, Р2, Р,„ можно записать следующие выражения (линейные преобразования):
Я. -ДцР, + s n P2 +••• +*1,Л
= S2\P\ + S22^2 +”■+ S2nP„ ►
S m = |
+Sm2^2 + ... + s nmP„- |
J
Здесь s,j представляют собой усилия, возникающие i -м сечении от силы Pj=1.
Эти же уравнения также могут быть записаны в виде
~ S \ |
|
^11 |
S n |
s \n |
|
|
|
|
|||
s 2 |
|
S 2 \ |
S 22 |
S 2„ |
P 2 |
|
|
= |
|
|
X |
A |
. |
_Sm\ |
Sm 2 |
c |
A . |
|
Более краткая запись этой же системы уравнений:
S = Ls Р |
(1.116) |
Таким образом, формулы (1.10), (1.11) являются различными формами записи линейного преобразования вектора нагрузки Р в вектор внутренних усилий S . Матрица этого преобразования Ls называется матрицей влияния внутренних сип и является полной характеристикой линейного преобразования (1.11 б).
Составление этой матрицы эквивалентно решению в общем виде задачи вычисления внутренних усилий (изгибающих
моментов М, поперечных сил Q, продольных сил N) в заданной конструкции от нагрузки заданного вида.
■Пример 1.4. Построим матрицу влияния изгибающих моментов в
консольной балке от сосредоточенной нагрузки (рис. 1.1,я).
T t = r |
' Н |
=i |
:<п»ра. |
|
|
& |
загар* |
|
|
2d |
•>гшрч.М-6 |
|
|
3d |
|
——1....■■■rJ.».. |
эга&рии. |
ЛР=1
пл. Мл
П.Е .
Л.Е. М^,
3d
. Л.Е.М,
Рис. 1.1. К построению матрицы влияния изгибающих моментов в балке
Поделив пролет / на три равные части длиной с/, построим эпюры изгибающих моментов, прикладывая единичную силу последовательно в сечениях 1,2, 3 и 4 (рис. 1.1,я).
Поскольку элементы sy матрицы влияния Lw - это усилия, возникающие в /-м сечении от силы Py=U то первый столбец этой матрицы состоит из ординат единичной эпюры М1г второй —из ординат единичной эпюры М2, третий - из ординат эпюры а четвертый, соответственно, М41т.е. матрица влияния имеет вид
0 1| 2| 3-
0 щ1; 2
L... —d • 0 о! о| 1
0 d d 0
Ординаты эпюры Мз
Таким образом, столбцы матрицы влияния представляют собой ординаты эпюр, а строки этой же матрицы являются ординатами линий влияния Ми М2, М3 и М4, соответственно. Это видно из рис. 1.1,б.
Спомощью матрицы влияния можно вычислить внутренние усилия
врассмотренных сечениях от любой вариации приложенных внешних нагрузок.
■Пример 1.5. Определим изгибающие моменты при действии на балку нагрузки, показанной на рис. 1.2, а.
О |
(N |
1 СП |
М 2 |
0 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
= d |
0 |
0 |
1 |
м |
ъ |
0 |
|||
м |
А |
0 |
0 |
0 |
0 |
" 0 ' |
'13' |
5 |
|
6 |
|
= |
d |
- 2 |
|
4 |
_ 4 |
_ |
0 |
Рис. 1.2.Нагрузки , действующие на балку
Эпюра изгибающих моментов, соответствующая данному случаю, показана на рис. Г.2,б.
Для более сложных конструкций матрицы влияния будут более громоздкими. Однако ход их построения аналогичен. Следует отметить, что если матрица влияния L составлена для нагрузки из сосредоточенных сил, приложенных к сооружению на одной линии, то элементы каждой строки этой матрицы представляют собой ординаты соответствующих линий влияния.
При расчетах сложных систем на ЭВМ это можно использовать для получения линий влияния 5/ по точкам.
В строительной механике часто решаются взаимно обратные задачи. Например, наряду с задачей вычисления
изгибающих моментов М (или других внутренних усилий S ) от
нагрузки ~Р можно поставить задачу вычисления сил Plt Л?,-.-, Рп