Рассмотрим несколько способов численного интегрирования.
5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
Отрезок интегрирования [а, Ъ] разбиваем на п равных отрезков и получаем n+1 равноудаленных точек: х0 = а, х„ = Ь, Хм = X/ +А, /= (0, 1, .......,п-\), где А шаг разбивки. При этом обозначим у/ = / (х,).
Площадь каждой элементарной |
криволинейной трапеции |
||
заменим |
площадью прямоугольника |
с |
основанием А и высотой |
Mi), где |
е [х„ JC, , 1], /=0, 1, 2, ,n-1 |
(рис.5.3). |
|
Рис.5.3. Схема метода прямоугольников
В зависимости от выбора ^ существует несколько формул прямоугольников.
Формула «левых» (входящих) прямоугольников, когда £>\=х\:
I * |
h Z |
У, |
(5-8) |
|
/= о |
|
|
Формула «правых» |
(выходящих) прямоугольников, |
когда |
|
£>Г*Х, 1 |
|
п |
|
|
|
|
|
1 « |
h Z |
У, |
(5.9) |
/ = |
Формула «средних» прямоугольников, когда |
=х, +h/2 |
||
|
I * h |
/(* ,_ , + h I 2) |
(5.10) |
|
|
/ = 1 |
|
Пример 5.1. С помощью формул левых и правых прямоугольников |
|||
вычислить |
с dx |
|
|
----- , полагая п=4. |
|
||
|
J х + 2 |
|
|
Решение. Зная пределы интегрирования а=1, Ь=9, находим шаг й=(6-
а ) 1 п = 2 ;
Тогда точками разбиения служат JC0=1, Х\=3, х2=5, JC3=7, JC4=9, а
значения подынтегральной функции /(*) = —-— в этих точках равны
х + 2
соответственно:
у 0 = / ( * 0) = j ; Д'! = / ( * I ) = - J ; д'г = / ( * 2) = у ; Уз = / ( * з ) = ^ ;
^4 = f ( x 4 ) = Y J
Найдем численное значение интеграла, пользуясь формулой левых прямоугольников:
1„ = КУо +У1 +У2 +Уз) = 2 |
1 |
1 |
1 |
1 . , |
- + |
7 |
~1,6024. |
||
|
3 |
5 |
9 ' |
|
Вычислим интеграл по формуле правых прямоугольников:
|
1 |
1 |
1 |
1 |
Л, =КУ\ +У2 + >,3 + J 4 ) = 2 |
-- 1----1----1--- * 1,1053, |
|||
5 |
7 |
9 |
11 |
|
что достаточно близко совпадает со значением интеграла, вычисленным по формуле Ньютона-Лейбница:
L + 2 ~ lni*+2i' 1,:299
5.2. Квадратурная формула трапеций
Рис.5.4. Схема методатрапеций.
Площадь каждой элементарной криволинейной трапеции заменим площадью линейной трапеции с основаниями f(Xj) иf(xi+l)
и высотой h |
( i=0, 1, 2,.....,и-1) (рис.5.4). |
|
|
Формула трапеций имеет вид |
|
||
|
п-1 |
|
|
|
1 ~ ^ ( У ' - У м ) /2 |
(5.П) |
|
|
1=0 |
|
|
или |
I ~ И(—■- |
y t). |
(5.12) |
|
1 |
i=i |
|
■ Пример |
5.2. С помощью формулы трапеций вычислить тот же |
||
интеграл |
г с/х |
|
|
I----- , полагая п=4. |
|
|
|
|
1Х + |
|
|
Решение. Здесь f(x) = —-— . Шаг И=2. Точки разбиения х0=\, х\=3, х2=5, х + 2
х3=7, дс4=9. Тогда по формуле (5.12) получим
dx |
= 2 |
1/3+ 1/11 1 |
1 |
I |
= 1,3322, что практически совпадает со |
\х +2 |
I- - |
+ — 4- — |
|||
|
5 |
7 |
9 |
|
|
значением интеграла, вычисленным через первообразную.
5.3. Квадратурная формула Симпсона
Точность приближенного интегрирования заметно возрастает, если подынтегральную функцию у -f(x) на отрезке [л:/./ ,JC,,/] длиной / =2h заменить квадратичной функцией (рис.5.5), проходящей через три точки А(хИ ,у,Л), В(х,,у,), С(х, , ,_у(, |).
Рис.5.5. Схема формулы Симпсона
Формула Симпсона в этом случае имеет вид
jO V i + 4.У, +Ты) -
Эта формула обладает повышенной точностью и является точной не только для многочленов второй, но и третьей степени.
Формула Симпсона, в частности, используется в строительной механике стержневых систем [35] при вычислении интегралов Мора, где подынтегральной функцией является произведение эпюр изгибающих моментов (М\А/р) или других внутренних усилий. Результат получается точным, если обе перемножаемые эпюры прямолинейны (их произведение -
квадратная парабола) или одна из эпюр - параболическая, а другая линейная (произведение - кубическая парабола). Формула Симпсона применима и в тех случаях, когда стержень имеет переменное сечение или криволинейное очертание.
■Пример 5.3. Перемножить две эпюры Мр и Ми (рис.5.6), используя формулу Симпсона и полагая £/=Const.
|
. |
—г |
а } |
з\2. |
I |
|
\ |
|
«_______ 1______
% !
Рис.5.6. Перемножаемые эпюры
j м рм
EJ Xdxa -jTj(apa\ +4С/,с, +bpbx),
Перемножать эпюры по формуле Симпсона следует на участках, где эпюры меняются плавно без скачков и переломов. При наличии же таковых (в местах приложения сосредоточенных моментов или сил) перемножение надо производить на каждом отдельном участке, где функции меняются плавно.
Для увеличения точности отрезок [а, Ъ] разбивается на четное число отрезков w=2m с шагом h=(b-a)/2m, а формула Симпсона для общего случая может быть записана:
,,, |
;л-1 |
(5.13) |
■Уо +4 У ^ _ , +2У ^2* +Уъ |
||
ы\ |
к=I |
|
где yrffXj), i=0,l,2, ......,п.
ВПриведем алгоритм для приближенного вычисления интеграла (5.1) по формуле Симпсона:
1.п=2т;
2.И=(Ь-а)/2т;
3. х0=а, JC/,; = JC/+A (7=0, /, .....,п-1), х„= Ь;
4.y,=f(Xj) (7=0, /, ...... п);
5.М()=у0 + уп =f(a)+f(b);
т
6. м х= л + у 3 + .... + у п.| |
; |
к=1
/л-1
7.М 2 =у2 +у4 +...+уп_2 = ^ У 2к;
к=1
8. J = +4М, +2М 2).