Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
Матричная форма расчетов известна давно. Однако до появления ЭВМ она не находила широкого применения из-за трудоемкости матричных операций при ручном счете.
Решение алгебраических задач при расчете строительных объектов требует знания матричного аппарата, так как, работая на ЭВМ, удобнее всего процесс расчета представлять в матричном виде. Чтобы далее при решении задач не обращаться к специальным руководствам, введем основные понятия, которые в дальнейшем потребуются нам при изучении данного курса.
1.1. Матрицы и векторы. Определения
Матрица - прямоугольная таблица, составленная из элементов (чисел), и имеющая т строк и п столбцов (размерность т х п). , обозначается матрица чаще всего большими буквами А или [А]:
|
«II |
«12 |
« 1/1 |
|
А |
«21 |
«22 |
«2м |
( 1.1) |
[ШХ/J] |
|
|
|
|
|
«;и1 |
«m2 |
|
|
Если т —я, матрица называется квадратной
Если т = 1, эго матрица-строка;
Две матрицы А = [ауj и В = [б,, j равны друг другу, если
они одного типа (имеют одинаковое число строк и столбцов - размер [я!хя]) и соответствующие элементы этих матриц равны между собой: а у = by для всех i иj.
Если п = 1, то матрица называется матрица-столбец или вектор. Будем особо выделять вектор и обозначать его
следующим образом X или {X }:
*i
X = *2 ( 1.2)
[nxlj
XП
Квадратная матрица, у которой все элементы равны 0, кроме стоящих на главной диагонали, называется диагональной:
« I |
0 |
|
0 |
. . . 0 ' |
I |
|
|
|
|
0 |
« 2 |
2 |
0 |
. . . 0 |
А = |
|
(1.3) |
||
|
|
|
||
0 |
0 |
|
0 |
• * * а пп _ |
|
|
|
|
или скалярной, если все элементы ац=а.
Диагональная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны 1, называется единичной и обозначается обычно буквой Е:
1 |
О |
О |
...О |
|
Е = О |
1 |
О |
...О |
(1-4) |
О |
0 |
1 |
...О |
|
0 |
0 |
0 |
...1 |
|
Если в матрице строки и столбцы поменять местами, получается транспонированная матрица (обозначается Ат). Очевидно, что (АТ)Т=А.
Если элементами матрицы являются матрицы, то такая матрица называется квазиматрицей или блочной матрицей. Например,
А = в„ |
(1.5) |
D2| |
|
где |
в„ , С|2, D2|, 0 -блоки: |
1 |
1 |
|||
|
*12 |
|
~d\\ |
|
||
в„ |
>®21 “ |
d\2 |
— |
|||
= |
d2\ |
^22 _ |
>С|2 “ |
|
||
|
.*21 *22. |
|
11N) |
|||
Матрица А здесь имеет порядок [4x3].
0 = о
о
Матрица называется обратной (обозначается А"1) по отношению к данной, если ее умножение как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу:
А А''= А’1А =Е. |
(1.6) |
Процесс нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы. Не всякая матрица имеет обратную. Если матрица имеет обратную, то она является неособенной (невырожденной).
Эквивалентны следующие |
высказывания: матрица А |
является невырожденной, если: |
|
•столбцы матрицы А линейно независимы;
•строки матрицы А линейно независимы;
•равенство АА =0, означает, что А = 0;
•определитель матрицы А не равен 0 ( detА * 0 ).
1.2.Матрицы специального вида
Вметодах для численных расчетов обычно рассматривают матрицы, специальная форма которых позволяет легче проводить вычисления.
Матрица, в которой большинство элементов равно нулю, называется разреженной. Такие матрицы появляются при расчетах моделей, в которых существенно локализованы связи и действующие нагрузки (стержневые системы, например, фермы), или при разностной аппроксимации дифференциальных уравнений. Элементы а- такой матрицы обычно вычисляются по заданным
формулам и их можно не хранить в оперативной памяти машины.
Это очень важно, так как порядок таких матриц может достигать нескольких десятков и даже сотен тысяч.
Ленточная матрица - это разреженная матрица, в которой все ненулевые элементы расположены симметрично относительно главной диагонали.
Любая модель, в которой существует локальное воздействие составных частей, будет приводить к ленточной матрице, если уравнения и неизвестные соответствующим образом пронумерованы. Например, решение краевой задачи методом конечных разностей или вариационными методами - Ритца, конечных элементов - приводит к матрицам такого вида.
Структуру ленточной матрицы можно показать в виде
с С с 0 0 0 0
с С с с 0 0 0
с с с с с 0 0
0 с с с с с 0
0 0 с с с с 0
0 0 0 с с с с
0 0 0 0 с с с
Трехдиагональная матрица - частный случай ленточной матрицы, ширина ленты которой равна 1 (или каждая строка матрицы содержит три ненулевых элемента, за исключением первой и последней, содержащих по два ненулевых элемента). Такого вида матрицы получаются при решении краевых задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, или при определении критических сил способом упругих грузов [36].
Квадратная матрица называется симметричной, если ее
элементы симметричны относительно главной диагонали,
( = a ). Многие физические задачи равновесия, строительной
механики приводят к симметричным матрицам. С симметричными
матрицами часто связывают свойство положительной определенности (все детерминанты - главные миноры - такой
матрицы больше 0 или х ' А Х >0 для всех ненулевых векторов
X ) .
Решение систем линейных алгебраических уравнений не представляет никаких затруднений для диагональных матриц, в которых элементы а /у = 0 при всех i иу, кроме /=у.
Такого вида матрицы получаются при решении систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана - Гаусса. Правда, привести матрицу к диагональному виду не просто.
Треугольные матрицы интересны тем, что решение систем линейных алгебраических уравнений сводится к рекуррентным (последовательным) вычислениям неизвестных, начиная с последнего и до первого, - для верхней треугольной матрицы и, начиная с первого и до последнего, - для нижней треугольной матрицы:
аи = 0 (для />у) |
atj = 0 (для /<у) |
Верхняя |
Нижняя |
треугольная |
треугольная |
матрица |
матрица |
Такого вида матрицы получаются при решении систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
При транспонировании эти матрицы превращаются одна в другую.
Собственные значения треугольной матрицы - суть
диагональные элементы.