Если все х, различны, то существует единственное решение, которое находится способом, аналогичным методу Лагранжа.

Многочлен Н(х) называется интерполяционным многочленом Эрмита, а совокупность условий (4.10) - условиями эрмитовой интерполяции.

В общем виде построение интерполяционного многочлена Эрмита Н„(х) является непростой задачей, требующей знаний теории комплексных переменных. Полиномы Эрмита, представляющие практический интерес, будут приведены далее в главе 7.

4.2.4. Сплайн-интерполяция

Следует заметить, что использование большого числа узлов интерполяции требует применения полиномов высокого порядка, что, в свою очередь, приводит к проблемам, связанным с ошибками округления. Чтобы выполнить интерполирование, не прибегая к алгебраическим многочленам высокого порядка, используют специальный прием - кусочно-полиномиальную интерполяцию,

когда функция интерполируется полиномом степени т между любыми соседними узлами сетки.

Введем понятие сплайна.

<j Сплайн1 - кусочно-полиномиальная функция, определенная на отрезке [а,Ь\, которая при некотором разбиении a=x0<xi<...<x„=b может быть на каждом интервале (х„ х,+1) представлена в виде полинома. Иногда требуется еще и непрерывность в точках х ,.

Чаще всего для кусочно-полиномиальной интерполяции

используются сплайны порядка т=1 (линейный сплайн), соответствующие аппроксимации графика функции у(х) ломаной, проходящей через точки (х„ у,), или порядка т=3 {кубический сплайн) [40].

1Сплайн {англ) - приспособление, позволяющее плавно соединять дуги разных кривых и аналогичное по роли лекалу.

Рассмотрим случай, когда функция у=/(х) интерполируется кубическим полиномом (4.11) {кубическая сплайн — интерполяция)

между любыми соседними узлами сетки (рис. 4.2):

Рис.4.2. Кубическая сплайн-интерполяция

Коэффициенты этого полинома на каждом интервале

Из условия непрерывности второй, а следовательно, и первой производных в точках сопряжения многочленов (при /=1,2,...,и-1) будем иметь:

Таким образом, получено 4(и-1) уравнений для определения всех коэффициентов (a,, b,, с/( d,) кубических четырехчленов (4.11). Вместо условий (4.16) могут быть использованы и какие-либо другие краевые условия.