- •Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие сведения о математическом моделировании.
- •Численные методы
- •Элементы теории погрешности
- •Понятия мастера и надстройки
- •Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
- •1.1. Матрицы и векторы. Определения
- •1.2. Матрицы специального вида
- •1.3. Действия над матрицами
- •1.4. Нормы матрицы и вектора
- •1.5. Матрицы в задачах строительной механики
- •1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил
- •1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
- •1.5.3, Матричная форма метода сил
- •1.5.4. Матричная форма метода перемещений
- •1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей
- •1.7. Функции Excel для операций над матрицами
- •Категория: математические. Функции:
- •2.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами
- •2.2.3. Метод прогонки
- •2.2.4. Метод (схема) Холецкого
- •2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)
- •2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя.
- •2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса
- •2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы
- •2.6. Вычисление определителя
- •2.7. Вычисление обратной матрицы
- •2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.8.1. Вводные замечания
- •2.8.2. Методы развертывания вековых определителей
- •2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения
- •2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •3.1. Отделение корней
- •3.2. Этап уточнения корня
- •3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)
- •3.2.2.Метод хорд
- •3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •3.3. Системы нелинейных уравнений
- •3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel
- •3.4.1. Решение нелинейных уравнений
- •Последовательность действий
- •4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
- •4.2.4. Сплайн-интерполяция
- •Глава 4. Аппроксимация
- •4.1. Задача и способы аппроксимации
- •4.2. Интерполирование функций
- •4.2.1. Постановка задачи интерполирования
- •4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •4.3. Среднеквадратичное приближение функций
- •4.3.1. Метод наименьших квадратов
- •4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение
- •4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания
- •4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- •Последовательность действий
- •Последовательность действий
- •5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •5.2. Квадратурная формула трапеций
- •5.3. Квадратурная формула Симпсона
- •5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
- •Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
- •6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи
- •6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
- •6.3. Численные методы решения задач Коши
- •6.3.1. Метод Эйлера
- •(геометрический метод решения задачи Коши)
- •6.4. Численные методы решения краевых задач
- •Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
- •Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных
- •Сходимость метода конечных разностей
- •6.5. Вариационный подход к решению краевых задач
- •6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления
- •6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала
- •6.5.3. Метод Ритца
- •6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •Построение второй итерации
- •Последовательность действий.
- •Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
- •Глава 7. Метод конечных элементов
- •7.1. Основные положения МКЭ
- •Построение расчетной модели
- •Аппроксимация искомой функции
- •Составление разрешающих уравнений
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •7.2.1. Классификация конечных элементов
- •Одномерный конечный элемент
- •Двухмерные конечные элементы.
- •элемента
- •Одномерный симплекс-элемент
- •Двухмерный треугольный симплекс-элемент
- •7.2.3. Интерполирование векторных величин
- •7.2.4. Разбиение области на конечные элементы
- •7.2.5 Нумерация узлов и элементов
- •7. 3. Основные соотношения МКЭ
- •7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
- •7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов
- •7.4. Другие типы конечных элементов
- •7.4.1. Элементы Эрмита
- •7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ
- •7.6.1. Специализированные программные комплексы
- •7.6.2. Универсальные программные комплексы
- •8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации
- •8.1. Общие сведения
- •8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •8.1.3. Классификация задач математического программирования
- •8.2. Постановка задачи оптимального проектирования
- •8.2.1. Определение входных и выходных параметров
- •8.2.2. Выбор целевой функции
- •8.2.3. Назначение ограничений
- •8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
- •8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
- •8.3. Задачи линейного программирования
- •8.3.1. Общая постановка задачи ЛП
- •8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными
- •8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Задача об оптимальном плане выпуска продукции
- •Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)
- •Задача о планировании смен на предприятии
- •Задача о покрытии местности при строительстве объектов
- •Транспортная задача
- •Задача о назначениях (проблема выбора)
- •8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании
- •8.4. Нелинейные задачи оптимизации
- •8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
- •8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
- •Основные этапы поиска экстремума
- •8.4.3. Численные методы одномерного поиска
- •Метод перебора или равномерного поиска
- •Метод дихотомии (или половинного деления)
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Метод наискорейшего спуска
- •Метод сопряженных градиентов
- •Метод Ньютона
- •Метод штрафных функций
- •8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц Excel
- •Литература
- •Оглавление
- •Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
В практических задачах область определения искомой функции обычно разбивается на несколько сотен или тысяч элементов примерно с таким же количеством узлов. Нумерация узлов и конечных элементов в современных программных комплексах чаще всего автоматизирована и предусмотрена оптимизация ширины ленты разрешающей системы уравнений.
7.3. Основные соотношения МКЭ
7.3.1.Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
Для иллюстрации основных соотношений вариационного метода конечных элементов рассмотрим задачу, связанную с уравнением Пуассона для двухмерного случая.
Для определенности пусть это будет плоская задача теории упругости, к которой можно отнести расчет напряженно - деформированного состояния таких строительных конструкций, как стеновые панели, протяженные плотины, балки - стенки и т.д. Исторически именно при решении плоской задачи теории упругости впервые были использованы идеи метода конечных элементов в их явном виде, и именно в данном случае метод раскрывает все свои возможности.
Пусть область О. с границей S разбита на конечные элементы
(е) - треугольные или (и) четырехугольные (рис.7.16).
Рис. 7.16. Разбиение области на конечные элементы
Получаемое в дальнейшем решение будет относиться к области, состоящей из совокупности конечных элементов в[, ек .
Задачу будем решать в перемещениях.
Краевая задача
д 2и |
д 2и |
(х, y)eQ |
(7.24) |
— Т — т = f(x ,y ), I |
|||
дх2 |
д у 2 |
|
|
u = g\(x,y), |
на контуре S |
(7.25) |
|
в методе конечных элементов заменяется вариационной задачей в виде начала возможных перемещений. {Краевые условия при этом могут быть и другими).
Функционал, связанный с уравнением (7.24) - потет/иольная энергия системы, имеет вид:
dCl - j f (JC, y ) u d Q . |
(7.26) |
n |
|
Мы будем минимизировать функционал (7.3), используя множество функций, каждая из которых определена на отдельном элементе и выражена через узловые параметры.
Как и в методе Ритца, решение будем искать в виде линейной комбинации некоторых функций, но для каждого конечного элемента:
“< |
« |
. ) |
( * |
) = ’ |
(7-27> |
|
- / |
ч |
/"(*)] |
определяет |
горизонтальное |
и |
|
где вектор г/(е)(х) = ^ |
> |
|||||
|
|
[v(x)J |
|
|
|
|
вертикальное перемещения точки внутри элемента; |
|
|||||
ccj - неизвестные коэффициенты (как |
в методе Ритца |
- |
||||
неизвестные параметры); |
|
|
|
|
||
ср(. (х) - координатные функции элемента, которые в данной задаче выбираются так, чтобы при подстановке координат соответствующих узлов в (7.27) коэффициенты а, равнялись бы перемещениям узлов конечных элементов.
В матричной форме решение (7.27) можно записать как
{C/(x)} = [N(x)}{5}, |
(7.27 а) |
|
л х /л |
т |
|
где [N(x)j - функции формы. Они зависят только от координат и размеров элементов.
Нижние индексы обозначают размерность матрицы; п определяет размерность задачи (п = 1 - одномерная, п = 2 - плоская, п = 3 - пространственная), а т обычно предполагается кратным п (m=Nn), N - число узлов конечного элемента. В частности, для плоской задачи т =2К
Вектор {s} - искомые значения перемещений узлов конечных элементов - состоит из N л-мерных векторов.
8(1) 1
\ 2) |
Л .Н>)\ |
{5}= |
(7.28) |
vv(') J п-2
( 5 (Л 0 J
Минимизация функционала (7.26) осуществляется на множестве узловых значений искомой функции {б}. При этом функционал (7.26) записывается в виде суммы интегралов по элементам:
2f(x ,y )u 00. . |
(7.29) |
Представление интеграла по области в виде суммы интегралов, каждый из которых вычисляется по отдельному элементу, позволяет рассматривать различные свойства материалов для различных элементов. Это является важным свойством МКЭ.
Подставляя (7.27) в (7.29) и производя интегрирование, получаем вместо функционала функцию 77, зависящую от узловых
значений перемещений. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Для |
нахождения |
экстремума |
этой |
функции, |
а |
||||
соответственно |
и |
функционала |
(7.26), |
|
необходимо |
||||
продифференцировать Я |
|
по параметрам |
u(i) и |
v(i) |
вектора |
{б} |
|||
(/=1,2,..., N) и приравнять к нулю: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
д Я |
|
О ; ( / |
1 , 2 |
N |
), |
(7.30) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
д П |
О ; (/ |
1,2 |
N |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Выполнив необходимые действия (интегрирование и дифференцирование), получаем систему т (или 2N— для данной задачи) линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых параметров, называемую разрешающей
системой уравнений, которая в матричной форме |
может быть |
записана |
|
[к]-{8} = {^}. |
(7.31) |
Здесь [К] - матрица жесткости (квадратная, симметричная, ленточной структуры размером [тхт]).;
{б} - вектор узловых значений искомой функции; {я} - вектор внешней нагрузки.
Матрицу жесткости всей системы К обычно получают
суммированием коэффициентов матриц э/сесптости каждого конечного элемента в соответствующих позициях матрицы жесткости всей системы. Интегрирование при вычислении матрицы жесткости элемента производится в общем случае численно. В матрицу жесткости системы включаются
кинематические краевые условия (граничные условия). В этом случае матрица жесткости системы положительно определена и однозначно разрешима.
Из решения системы линейных алгебраических уравнений
(7.31) определяются узловые значения искомой функции, в данном случае перемещения узлов {8}.
Перемещения в любой точке каждого конечного элемента в дальнейшем могут быть определены по формуле (7.27).
А зная перемещения во всех точках элемента, можно легко определить деформации {в} и напряжения {о} в каждой точке конструкции.
В основе курса теории упругости [1, 34] лежат два важных соотношения: соотношения связи между деформациями и перемещениями, и закон Гука, который связывает компоненты
напряжений и деформаций.
Так, соотношения связи между деформациями {в} и перемещениями {б} в двухмерном случае имеют вид:
ди |
_ dv |
_ди dv |
|
Eyy~ 1fy’ |
(7.32) |
|
1ху~~ду+~дх' |
И если известны перемещения узлов конечного элемента, то вектор деформаций, выраженный через узловые перемещения, можно записать
{*}= № }• |
(7.33) |
|
8 XX
Здесь {в}= УУ ,[В] матрица, получаемая дифференцированием
надлежащим образом матрицы функций формы [N]. Фактические значения коэффициентов матрицы [В] зависят от типа используемого элемента и от вида рассматриваемой задачи.
Закон Гука в общей форме имеет вид
И = № ) . |
<7-34> |