- •Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие сведения о математическом моделировании.
- •Численные методы
- •Элементы теории погрешности
- •Понятия мастера и надстройки
- •Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
- •1.1. Матрицы и векторы. Определения
- •1.2. Матрицы специального вида
- •1.3. Действия над матрицами
- •1.4. Нормы матрицы и вектора
- •1.5. Матрицы в задачах строительной механики
- •1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил
- •1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
- •1.5.3, Матричная форма метода сил
- •1.5.4. Матричная форма метода перемещений
- •1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей
- •1.7. Функции Excel для операций над матрицами
- •Категория: математические. Функции:
- •2.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами
- •2.2.3. Метод прогонки
- •2.2.4. Метод (схема) Холецкого
- •2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)
- •2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя.
- •2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса
- •2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы
- •2.6. Вычисление определителя
- •2.7. Вычисление обратной матрицы
- •2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.8.1. Вводные замечания
- •2.8.2. Методы развертывания вековых определителей
- •2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения
- •2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •3.1. Отделение корней
- •3.2. Этап уточнения корня
- •3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)
- •3.2.2.Метод хорд
- •3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •3.3. Системы нелинейных уравнений
- •3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel
- •3.4.1. Решение нелинейных уравнений
- •Последовательность действий
- •4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
- •4.2.4. Сплайн-интерполяция
- •Глава 4. Аппроксимация
- •4.1. Задача и способы аппроксимации
- •4.2. Интерполирование функций
- •4.2.1. Постановка задачи интерполирования
- •4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •4.3. Среднеквадратичное приближение функций
- •4.3.1. Метод наименьших квадратов
- •4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение
- •4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания
- •4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- •Последовательность действий
- •Последовательность действий
- •5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •5.2. Квадратурная формула трапеций
- •5.3. Квадратурная формула Симпсона
- •5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
- •Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
- •6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи
- •6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
- •6.3. Численные методы решения задач Коши
- •6.3.1. Метод Эйлера
- •(геометрический метод решения задачи Коши)
- •6.4. Численные методы решения краевых задач
- •Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
- •Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных
- •Сходимость метода конечных разностей
- •6.5. Вариационный подход к решению краевых задач
- •6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления
- •6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала
- •6.5.3. Метод Ритца
- •6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •Построение второй итерации
- •Последовательность действий.
- •Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
- •Глава 7. Метод конечных элементов
- •7.1. Основные положения МКЭ
- •Построение расчетной модели
- •Аппроксимация искомой функции
- •Составление разрешающих уравнений
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •7.2.1. Классификация конечных элементов
- •Одномерный конечный элемент
- •Двухмерные конечные элементы.
- •элемента
- •Одномерный симплекс-элемент
- •Двухмерный треугольный симплекс-элемент
- •7.2.3. Интерполирование векторных величин
- •7.2.4. Разбиение области на конечные элементы
- •7.2.5 Нумерация узлов и элементов
- •7. 3. Основные соотношения МКЭ
- •7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
- •7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов
- •7.4. Другие типы конечных элементов
- •7.4.1. Элементы Эрмита
- •7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ
- •7.6.1. Специализированные программные комплексы
- •7.6.2. Универсальные программные комплексы
- •8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации
- •8.1. Общие сведения
- •8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •8.1.3. Классификация задач математического программирования
- •8.2. Постановка задачи оптимального проектирования
- •8.2.1. Определение входных и выходных параметров
- •8.2.2. Выбор целевой функции
- •8.2.3. Назначение ограничений
- •8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
- •8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
- •8.3. Задачи линейного программирования
- •8.3.1. Общая постановка задачи ЛП
- •8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными
- •8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Задача об оптимальном плане выпуска продукции
- •Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)
- •Задача о планировании смен на предприятии
- •Задача о покрытии местности при строительстве объектов
- •Транспортная задача
- •Задача о назначениях (проблема выбора)
- •8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании
- •8.4. Нелинейные задачи оптимизации
- •8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
- •8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
- •Основные этапы поиска экстремума
- •8.4.3. Численные методы одномерного поиска
- •Метод перебора или равномерного поиска
- •Метод дихотомии (или половинного деления)
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Метод наискорейшего спуска
- •Метод сопряженных градиентов
- •Метод Ньютона
- •Метод штрафных функций
- •8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц Excel
- •Литература
- •Оглавление
- •Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка:
|
у" + Р(х)у' + Ф ) у = f ( x ) |
(6.54) |
|
с линейными краевыми условиями: |
|
||
|
а -оУ ^ + и-хУ'(ci) = A, |
(6.55) |
|
|
РоУ(ь) + р1У(ь) = в > |
||
|
|
||
где |
р(х), q(x), f(x) - непрерывные на [а,Ь\ функции; |
||
|
а 0, а ,, А, Р0, Р,,5 - |
заданные числа, |
не равные нулю |
одновременно, причем [ot0| + |ot, 15* 0, |р0| + |Р(| * 0. |
|||
|
Краевые условия (6.55) |
в общем случае |
задают линейную |
связь между значением искомого решения и его производной на концах отрезка [а,Ь] в отдельности.
В частном случае, если a, = Pt = 0, то на концах отрезка
[а,Ь\ задано значение искомого решения. Такое краевое условие является краевым условием I рода.
Если сс0 =Р0 =0, то на концах отрезка заданы значения производной решения. Это краевое условие II рода.
В общем случае, когда а / ^ 0, Р7 * 0, условие называются
краевым условием III рода.
В отличие от имеющей всегда единственное решение задачи Коши, в которой только на одном конце задаются условия для искомой функции и ее производной, краевая задача (6.54), (6.55)
может иметь или одно решение, или бесконечное множество решений, или, наконец, может совсем не иметь решений. Не акцентируя внимание на этой проблеме, будем считать, что линейная краевая задача (6.54), (6.55) имеет единственное решение,
непрерывное на отрезке [а,Ь] вместе с производными до 2-го порядка включительно.
Область изменения аргумента хе[а, Ь\ заменяем разностной сеткой (дискретной сеточной областью) Q,„ (6.43), (рис.6.8).
и вводим обозначения:
Р, = р{х,), |
q, = q(x,), |
/ |
= / ( * ,X |
y , = y i * i \ |
y ' , = y \ x i \ |
У, |
= У (.*,), (/ = 0,1,...,и). |
Конечно-разностные выражения (6.50) - (6.53) подставляем в дифференциальное уравнение (6.54) и краевые условия (6.55). При этом во внутренних узлах сетки производные у', у" заменяем их конечно-разностными отношениями (6.50), (6.53), а в граничных точках х0 = а, х„ = 6, чтобы не выходить за пределы отрезка [а,Ь\ соответственно
Уо = У\ -Уо |
У„ = Уп - Л-1 |
В результате этого решение краевой задачи сведено к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно (п+1) неизвестных у0, у х,..., у п .
УЫ -2у, +ум |
у м -у,_, |
0 = 1,2,....,и -1), |
|
+ Pi-----^ ---- + Я/У1 =f t . |
|
а оЛ +а, — ■ Уо = А , |
(6.56) |
|
Р о Л + Р , - |
= В. |
|
h |
|
|
Переход от краевой задачи (6.54) - (6.55) к системе линейных алгебраических уравнений (6.56) — есть аппроксимация краевой задачи, в которой искомой является сеточная функция
rO W ,...,Л ) на сетке Q,, При этом полученная краевая задача
(6.56) называется разностной схемой для дифференциальной задачи.
После соответствующих преобразований систему (6.56) можно привести к виду
|
|
|
h Уо + соУ\ = А> |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
; |
|
а, у,-\ |
+ Ъ, у, + с, у м |
= / , , / = 1,2,.., п - 1 , |
(6.57) |
|||||||
|
|
|
« Л ,н |
+Ь„ун =В, |
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а<~ . 2 |
г,, » |
|
Я* |
|
,2 |
’ с> |
,2 |
^ |
E± |
’ * |
1,2,..,и |
1, |
(6.58) |
|
|
-и |
|||||||||||
h |
2h |
|
|
h |
|
Иhl |
|
2h |
|
|
|
|
|
a 0/ ? - a, |
|
_ о ^ |
_ _ P L |
ь |
_ М 1 Ё - |
|
|
||||||
|
|
J |
C0 |
j |
J |
^11 |
PL |
|
(6.59) |
||||
|
h |
7 |
’ |
^11 |
|
h |
|
||||||
|
|
|
h |
' |
|
Ah |
' |
|
|
|
|
||
В матричной форме система (6.57) имеет вид |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
AxY= D , |
|
|
|
|
|
|
(6.60) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
Уо |
' |
|
\ Ч |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ Ч |
|
|
|
|
|
|
А |
|
У\ |
|
||
А = |
2 |
|
Х^ 2 \ |
|
|
, |
|
£> = |
Л |
, ? = |
У 2 |
(6.61) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и Х 'п -i |
|
|
Л - 1 |
|
У п - 1 |
|
||
|
|
|
|
-в» |
Х\ |
|
|
|
в |
. |
Уп . |
||
О6 ~с
Матрица А системы (6.57) является трехдиагональной. Система решается методом прогонки (см. подраздел 2.2.3) относительно неизвестных Уй,У\,-.-,у„_^,уп, т.е. значений искомой функции у=у(х) в узлах равномерной сетки заданного отрезка [а,Ъ\
■Пример 6.11. Методом конечных разностей найти решение краевой задачи.
у"+(1+х2) у |
= -\, |
Х0) = о, |
(6.62) |
У(1) = о. |
|
Рис.6.10. К примеру 6.11
Данная краевая задача представляет собой дифференциальное уравнение для изгибающего момента балки с переменным поперечным сечением и шарнирно закрепленным левым и жестко заделанным правым концами (рис. 6.10).
Для грубого решения построим сеточную область с шагом h - 0,25:
Q5{0; 0,25; 0,5; 0,75; 1}.
Введем обозначения:
^o=J<0); ух=з<0,25); ^2=J<0,5); Уъ=у(0ЛЪ)\ у4=К0-
Таким образом, нужно определить пять значений неизвестной функции:
Уо, У\ , У2 . Уз, Уа Используя конечноразностные отношения (6.50) - (6.53) запишем
для /-0 (х =0) |
У о |
= |
° . |
для /-1 (х =0,25) |
У о |
~ |
2,У| + У 2 + (1 + 0,252)^ =-1, |
|
|
|
0,252 |
для /=2 (л: =0,5) |
у , - 2 у 2+у3 + (1 +0,52 )у2 = -1, |
||
|
|
0,252 |
|
для i=3 (х =0,75) |
У2~2у3+У4 + 0 +0,752)_у3 = - I , |
||
|
|
|
0,252 |
для /=4 (х =1)
0,25
После подстановки в систему (6.57) и приведения подобных систему пяти линейных алгебраических уравнений с пятью неизвестными можно записать:
1 |
0 |
0 |
0 |
0 ' |
Уо' |
" 0 |
' |
|
16 |
- 30,94 |
16 |
0 |
0 |
У\ |
-1 |
||
0 |
16 |
-30,75 |
16 |
0 |
X Уг = |
-1 |
(6.63) |
|
0 |
0 |
16 |
30,43 |
16 |
Уз |
-1 |
||
|
||||||||
0 |
0 |
0 |
- 4 |
4 |
УА |
0 |
|
|
Результат решения системы уравнений, соответствующий приближенному решению краевой задачи, можно записать в виде таб.6.1.
Xi
Уг
|
|
|
|
Таблица6.1 |
0 |
0,25 |
0,5 |
0,75 |
1 |
0 |
0,319 |
0,555 |
0,684 |
0,684 |
Или представить в виде графика (рис.6.11).
Рис. 6.11. График изменения изгибающего момента по длине балки
В подразделе 6.6.3 решение этой задачи с использованием электронных таблиц Eixccl приведено для двух сеточных областей (Л=0,25иА=0,125).