построения математических моделей задач оптимизации, а также методы их решения.
Но прежде рассмотрим, что представляет собой математическая модель задачи оптимизации, и введем ряд понятий и определений, используемых в этих задачах.
8.1.Общие сведения
8.1.1.Математическая модель задачи оптимизации
^Задача оптимизации обычно сводится к отысканию наименьшего или наибольшего значения некоторой функции, которую принято называть целевой функцией (или функцией
Z=Z(xu х2, х3,....х„). |
(8.1) |
В качестве целевой функции могут быть приняты, например: минимальный вес конструкции, максимальный объем выпуска продукции; минимальная стоимость перевозок груза; максимальная прибыль и т.д.
Параметры хь х2, х3,....х„, - переменные величины, которые могут изменяться непрерывно или дискретно и должны однозначно определять целевую функцию. Они называются
управляемыми (или проектными) параметрами.
Количество и параметров х,- (i=\,2,...n), определяет размерность (сложность) задачи.
Область, определяемая всеми проектными параметрами, называется пространством проектирования. Это пространство обычно не столь велико, как может показаться, так как в практических задачах ограничено рядом условий, связанных с физической сущностью задачи (это могут быть законы природы, механики, экономики, права, наличие необходимых материалов и ресурсов и т.п.). Управление строительством или техническое проектирование всегда ведется в условиях жестких ограничений на материальные, энергетические, временные и прочие виды ресурсов.
Выражения, описывающие эти условия, называются ограничениями задачи. Ограничения делятся на две группы:
- ограничения -равенства:
h{x 1, хъ хз, ....хп)=0 |
(/=1,2,...*), |
(8.2) |
- и ограничения-неравенства:
gj(xh хъ х3|....*„)<или>0 |
(/=1,2,.../). |
(8.3) |
Значения управляемых параметров, при которых выполняются ограничения (8.2)-(8.3), называются допустимыми решениями задачи.
Допустимое решение X * (х, ,х 2 |
х п ) , дающее |
экстремум функции цели (8.1), называется оптимальным решением.
Оптимальное решение (если оно вообще существует) не обязательно единственно. Возможны случаи, когда имеется
бесчисленное множество оптимальных решений.
Считается, что математическая модель задачи оптимизации построена, если определены управляемые параметры, построена целевая функция (8.1) и записаны
ограничения задачи (8.2) - (8.3).
Для записи математической модели задачи оптимизации в общем виде часто используется следующая символика [20]:
наити |
Z(X) -> min(max), X е Q |
(8.1*) |
|
при ограничениях: Q,: hj ( X ) = 0 |
(/ = 1, * ) , |
( 8.2*) |
|
|
g j ( x ) < о |
0 = й ) , |
(8.3*) |
где Z ( X ) - целевая функция, зависящая от вектора управляемых
параметров X ; Q - допустимое множество, заданное ограничениями на управляемые параметры.
