л

1 (8.8)

J

где Дуг - допустимое отклонение r-го выходного параметра от указанного в ТЗ значения 7ТГ.

Условия работоспособности обычно имеют определяющее значение в задачах проектирования.

Обоснованный вывод о том, насколько удачно то или иное техническое решение, может быть сделан, только когда определены значения всех входных параметров, построена математическая модель и выполнены расчеты по определению

выходных параметров и условий работоспособности.

После вычислений выходных параметров может оказаться, что условия работоспособности не выполняются и необходимо провести повторный выбор значений внутренних параметров, т.е. выполнить вариантный анализ.

8.2.2. Выбор целевой функции

Формирование целевой функции (8.1) всегда выполняется с учетом различных выходных параметров проектируемого объекта.

Целевая функция количественно выражает качество объекта, и потому ее иногда называют также функцией качества или критерием оптимальности. Все последующие действия направлены на поиск объекта, наиболее близкого к оптимальному по выбранному критерию.

Целевая функция должна быть одна (принцип однозначности). Однако в большинстве реальных задач проектирования преследуется, как правило, не одна, а несколько целей (многокритериальность) [39], которые зачастую имеют противоречивый характер, улучшение одного из них приводит к ухудшению другого, так как все они являются функциями одних и

тех же управляемых параметро, и не могут изменяться независимо друг от друга.

Например, проектировщик желает, чтобы его проектируемое

предприятие обеспечивало м а к си м альн ую п ри бы ль, им ело м и н и м альн ы е

кап и т аловлож ен и я, м ак си м ал ьн ую т ехнологи чност ь, м и н и м альн ы е эн ер ге т и ч ес к и е за т р а т ы ит.п

Поэтому практически всегда возникает задача объединения критериев. Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной называют сверткой векторного критерия [2,

20].

В зависимости от того, каким образом выбираются и объединяются выходные параметры в функции цели, различают

частные, аддитивные, мультипликативные, минимаксные и др. критерии. Рассмотрим некоторые способы объединения (свертывания) критериев.

Частные критерии - наиболее часто используемые в задачах оптимизации. Они могут применяться в случаях, когда среди выходных параметров можно выделить один основной

параметр у {( Х ) 9 наиболее полно отражающий эффективность проектируемого объекта. Этот параметр принимают за целевую функцию (8.1).

Примерами таких параметров могут быть: ст ои м ост ь п роект а,

ве с кон ст рукц и и , п р ои звод и т ельн ост ь ит.п.

Условия работоспособности всех остальных выходных параметров объекта относят при этом к функциональным ограничениям. Оптимизация на основе такой постановки называется оптимизацией по частному критерию.

Достоинство такого подхода - его простота, существенный недостаток - то, что большой запас работоспособности можно получить только по основному параметру, который принят в качестве целевой функции, а другие параметры вообще не будут иметь запасов.

Взвешенный аддитивный критерий [20] применяют тогда, когда условия работоспособности (8.8) позволяют выделить

две группы выходных параметров. В первую группу входят выходные параметры, значения которых в процессе оптимизации

нужно увеличивать у* (X ), во вторую - выходные параметры,

значения которых следует уменьшать уТ (X ) .

Например, при проектировании какого-либо микрорайона решается ряд задач:

1)проектирование жилой застройки, где в качестве критерия выбран

максимум числа поселяемых жителей; проектирование торговых центров, где критерием выбран максимум пропускной способности магазинов и т.д.;

2)прокладка транспортных маршрутов, где в качестве критерия выбрано минимальное время нахождения пассажиров в пути;

проектирование сетей теплоснабжения, где критерием является

минимум теплопотерь на трассе.

Объединение нескольких выходных параметров, имеющих в общем случае различную физическую размерность, в одной скалярной целевой функции требует предварительного нормирования этих параметров. Способы нормирования параметров будут рассмотрены ниже. Пока будем считать, что все

у (Х) безразмерны и среди них нет таких, которым соответствуют

условия работоспособности типа равенства. Тогда для случая

минимизации целевой функции свертка векторного критерия

будет иметь вид

(8.9)

где а} >0 -весовой коэффициент, определяющий степень важности j - го выходного параметра (обычно выбираются проектировщиком и в процессе оптимизации остаются постоянными).

В случае, когда все или основные условия работоспособности (8.8) имеют вид равенств, целевую функцию (8.1), выражающую аддитивный критерий, можно записать

т

(8.10)

В этом случае целевая функция определяет среднеквадратичное

приближение у,- (X ) к заданным техническим требованиям 77).

Мультипликативный критерий [44] может применяться в тех случаях, когда отсутствуют условия работоспособности типа равенств и выходные параметры не могут принимать нулевые значения. Тогда минимизируемая мультипликативная целевая функция имеет вид

( 8. 11)

Наиболее существенными недостатками как аддитивного, так и мультипликативного критерия является неучет в постановке задачи технических требований, предъявляемых к выходным параметрам, а также то, что здесь в принципе недостаток в одном критерии может быть скомпенсирован за счет другого. Например, недостаточная комфортность жилища за счет стоимости здания.

Критерии подобного типа напоминают предложенный в шутку Л.Н.Толстым "критерий для оценки человека", в виде дроби: в числителе дроби стоят действительные достоинства человека, а в знаменателе - его мнение о себе. Несостоятельность такого критерия очевидна, так как по нему человек, почти не имеющий достоинств, но совсем не обладающий самомнением, будет иметь бесконечно большую ценность.

Критерий формы функции обычно используют, когда ставится задача наилучшего совпадения заданной (эталонной)

характеристики у 1Г.(Х,<о) с соответствующей выходной

характеристикой у (X, о) проектируемого объекта. Здесь © -

некоторая переменная (например: прогиб, внутреннее усилие, частота, время, запас прочности и т.п.). К таким задачам относится, например, поиск параметров сечений балки, значения

которых приводят к наилучшему совпадению заданной эпюры напряжений с расчетной, и т. п.

В этом случае использование частного критерия оптимизации сводится к замене непрерывных характеристик конечным множеством узловых точек и выбору одной из следующих целевых функций, подлежащих минимизации [20]:

где: р - количество узловых точек coj на оси переменной со; а,-- весовые коэффициенты, значения которых тем больше, чем

достичь одной из целей оптимального проектирования - наилучшего удовлетворения условий работоспособности (8.8).

Введем количественную оценку степени выполнения j -го условия работоспособности, обозначим ее через у, и будем называть запасом работоспособности параметра yj. Расчет запаса по j -му выходному параметру можно выполнить

Здесь предполагается, что все соотношения сведены к виду