Глава 2. Численные методы решения задач линейной алгебры

«75% всех расчетных математических задач приходится на решение систем линейных алгебраических уравнений»

Е. Валях

Применение численных методов, в принципе, сводит все задачи к алгебраическим. Традиционно выделяют четыре основных задачи линейной алгебры:

•решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ);

•вычисление определителя;

•нахождение обратной матрицы;

•определение собственных значений и собственных векторов матрицы.

2.1. Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений могут либо непосредственно составлять задачу, которую необходимо решить

{канонические уравнения метода сил, метода перемещений, смешанного, комбинированного методов - в расчетах статически неопределимых систем; уравнения равновесия (баланс сил) - в расчетах статически определимых систем и др.), либо задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений той или иной структуры {краевые задачи, описываемые дифференциальными уравнениями, вариационные задачи и др.).

Система линейных алгебраических уравнений в общем

В некоторых случаях эту систему удобнее записывать в виде

или в матричной форме

где А - матрица системы, X - вектор решения, В - вектор свободных членов.

Решение систем линейных алгебраических уравнений представляет собой типичный образец численных расчетов, которыми занимались еще в древности. Это основной “строительный блок” для алгоритмов решения большинства задач, в которых используются математические модели.

Система (2.1) имеет единственное решение [5, 8], если матрица А невырождена (tlet А.Ф0). Это решение, если использовать понятие обратной матрицы (А'1), можно записать

Такой подход к решению СЛАУ крайне неэффективен, т.к. вычислительные потери при вычислении обратной матрицы очень большие. И если нет необходимости исследовать непосредственно элементы обратной матрицы, то лучше не вычислять А '.

В курсе линейной алгебры решение системы (2.1) обычно находится по формулам Крамера в виде отношения определителей:

Для численного решения системы эти формулы непригодны, так как требуют вычисления (w+l)-ro определителя. Даже при выборе наилучшего метода вычисление одного определителя требует такого же времени, что и решение системы линейных алгебраических уравнений современными численными методами.

Все методы решения СЛАУ можно условно разбить на два класса: прямые (или точные) и итерационные. Имеются и гибридные методы.

Прямые методы позволяют за конечное число действий получить точное решение системы. Слова “точное решение” нужно понимать условно, как характеристику алгоритма, а не реального вычислительного процесса.

Итерационные методы являются бесконечными методами. Они позволяют найти приближенное решение системы с заданной точностью в путем построения последовательности приближений (итераций), начиная с некоторого начального приближения.

Выбор того или иного метода зависит от многих обстоятельств:

от вида матрицы коэффициентов; от порядка системы; от имеющихся программ;

от объема оперативной памяти ЭВМ и др.

2.2. Прямые методы решения систем линейных

алгебраических уравнений

Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений основаны на сведении матрицы системы А к матрице простой структуры - диагональной (и тогда решение очевидно) или треугольной - и тогда решение отыскивается с помощью последовательных подстановок корней. Сведение матрицы А к одному из указанных видов осуществляется при помощи конечного числа эквивалентных преобразований:

•перемена местами двух уравнений в системе;

•умножение какого-либо уравнения системы на действительное число с^О;

прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число.

2.2.1. Метод Гаусса

Иногда метод Гаусса называют методом последовательного исключения. Алгоритм исключения неизвестных датируется, по крайней мере 250-м годом до нашей эры, хотя и носит имя Гаусса. Суть метода заключается в манипуляциях с уравнениями, в результате чего из уравнений последовательно исключаются неизвестные и получается эквивалентная система (т.е. существует система с тем же самым решением).

Процесс состоит из двух этапов: прямого и обратного хода.

В результате прямого хода система приводится к треугольному виду, а при выполнении обратного хода вычисляются все неизвестные [8, 12].

Продемонстрируем метод Гаусса на примере системы из трех уравнений. Обозначим каждое уравнение буквами А В ^ \ (здесь (/) соответствует номеру шага).

Выполнив два шага для системы 3-го порядка, получили систему, эквивалентную заданной и имеющую верхнюю треугольную матрицу коэффициентов, из которой легко вычисляются все неизвестные. (Для общности можно выполнить 3-й шаг, поделив последнее уравнение на главный коэффициент).

Обратный ход. Из последней строки полученной системы (2.3,6) находим значение неизвестного *з

_ъ\Р

а(2) ' аъъ

Подставляя его во вторую строку системы (2.3,6), получим значение x-i

Перед обобщением метода на случай п уравнений с п неизвестными рассмотрим простой численный пример.

■Пример 2.1. Методом Гаусса решить систему уравнений:

2х{ +Лх7+Злг3 = 4,

3JC +х2 -2х3 = -2, ►

4*, +1 \х2 +7*з = 7.

Составим матрицу коэффициентов, включая свободные члены (расширенную матрицу):

2 4 3 4 ' Л<°> = 3 1 -2 i -2 4 11 7 7

Прямой ход

1-й шаг 1-ю строку матрицы делим на аи -2; Умножаем полученную строку сначала на (-3) и складываем со 2-й, а затем на (-4) и складываем с 3-й:

2-й шаг 2-ю строку матрицы Ат делим на а22 - —5; Умножаем полученную строку на (-3) и складываем с 3-й строкой этой же матрицы:

Обратный ход

Из последнего уравнения (3-я строка матрицы) получаем

Из 2-го уравнения находим х2 = 1,6 -1,3 • х3 = 1,6 -1,3 • 2 = -1.

Из 1-го уравнения получаем х, = 2 -2 х2-1,5-х3 = 2—2 • (—1)—1,5-2 = 1

Таким образом, полученное решение имеет вид Х(1, -1,2).

Аналогично методом Гаусса решается система линейных алгебраических уравнений и-го порядка. Процесс расчета представим в виде, удобном для дальнейшего программирования.

Запишем систему уравнений п -го порядка в виде

//

(2.4)

(J -1,2,...,и).

Если aj)0) Ф0, а также ведущие элементы остальных строк,

получаемых в процессе вычисления, отличны от нуля, то система за п шагов приводится к треугольному виду

х, +

7=/-И

(/=1,2, ...п).

вычислить параметры т по формулам (2.7).

Для /=А+1 до п вычислить коэффициенты а и в по формулам (2.6).

Конец по /. Конец поj.

Конец по к.

3)Вычислить хппо формуле (2.8).

4)Для j=n-1до 1

вычислить х) по формулам (2.9). 5) Конец.

Впроцессе решения системы возможны три случая:

1)Решение системы существует и является единственным,

когда матрица коэффициентов не вырождена (при этом на последнем шаге решения получается одно уравнение с одним неизвестным).

2)Система уравнений вообще не имеет решений (такой случай имеет место, когда на некотором шаге получается строка, в которой все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член не равен нулю).

3)Система уравнений имеет бесконечное множество решений (это получается, когда на некотором шаге в системе получается строка, в которой все коэффициенты и свободный член равны нулю).

$ При практическом применении метода Гаусса следует обратить внимание на следующие моменты:

1.Если в ходе приведения матрицы А к треугольному виду на главной диагонали окажется элемент, равный нулю, эта схема расчета формально непригодна, хотя система может иметь единственное решение.2

2.В процессе вычислений встречаются ведущие элементы, которые малы по сравнению с другими элементами соответствующих строк. Это обстоятельство может привести к значительным ошибкам округления.